2. Гидравлический расчет трубопроводов систем теплоснабжения

2.1. Уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости

В большинстве гидравлических расчетов трубопроводов систем теплоснабжения допустимо использовать одномерную модель течения вязкой жидкости. Одномерными называют течения, для описания которых можно ограничиться одной геометриче­ской координатой. К одномерной модели сводятся плавно изменяющиеся течения, т.е. такие, которые имеют малую кривизну струек (линий тока) и ма­лый угол расхождения между ними. Для таких ус­тановившихся течений уравнение Бернулли может быть распространено на поток конечных размеров и приведено к виду

z1+P1/ρg+α1v12/2g=z2+P2/ρg+α2v22/2g+hc,

(3.48)

где v₁ и v₂ — средние скорости в сечениях, опре­деляемые как отношение расхода V к площади нор­мального сечения S: v=V/S; α — коэффициент ки­нетической энергии, учитывающий неравномер­ность распределения местных скоростей по «живо­му» (нормальному) сечению,

α=∫SU3dS/(v3S)

(3.49)

При ламинарном течении в круглых трубах α = 2, при развитом турбулентном α ≈1,1. В общем случае значение α зависит от формы эпюры (профи­ля) скорости и может значительно превышать едини­цу. Член h_с в (3.48) выражает потерю напора (энер­гии) между сечениями 1 и 2. Употребительны сле­дующие обозначения и термины: H_гд = z + р/ρg+αv²/2g — гидродинамический, или полный на­пор; H_п = z + р/( ρg ) — пьезометрический напор (р— избыточное давление); Н_v = αv²/2g — скоро­стной напор или «скоростная» высота.

2.2. Гидравлические сопротивления

Первопричиной потерь энергии h_с во всех слу­чаях является сила внутреннего трения (вязкости), однако ее действие проявляется по-разному в зави­симости от условий на границах потока. Твердые неподвижные границы всегда оказывают тормозя­щее воздействие на поток. Это воздействие называ­ют гидравлическими сопротивлениями. В общем случае потери энергии в гидравлических сопротив­лениях слагаются из потерь в сопротивлениях по длине h_д и в местных сопротивлениях.

Сопротивления по длине. В чистом виде эти сопротивления имеют место при течении жидко­стей и газов по цилиндрическим трубам или кана­лам с постоянной по длине потока средней скоро­стью. В этих случаях потери гидродинамического напора (механической энергии), выраженные в ли­нейных единицах столба данной жидкости, опреде­ляют по формуле Вейсбаха — Дарси

hд=λ*lv2/(4R*2g),

(3.50)

где l — длина участка, на котором определяются по­тери; v — средняя скорость; R — гидравлический радиус, определяемый как отношение площади нор­мального сечения потока к смоченному периметру. Для круглых труб 4R = 2d (d — диаметр трубы), и формула (3.50) приобретает вид

hд=λ*lv2/(2d*2g).

(3.51)

Потери энергии, выраженные в размерности давления, определяются по формуле

Δp=λ*lρv2/(2d)

(3.52)

Гидравлический коэффициент трения λ в об­щем случае зависит от конфигурации граничных поверхностей и числа Rе. Понятие конфигурации включает в себя форму поперечного сечения и шеро­ховатость стенок. Общий характер зависимости λ от числа Rе и шероховатости стенок для круглых труб по данным опытов Никурадзе показан на рис.3.9. В этих опытах шероховатость создавалась искусст­венно и оценивалась средним размером выступа ∆_Д. Как показывает ход экспериментальных кри­вых, возможны следующие течения: 1 — ламинар­ный режим λ¹=f¹(Re); 2 — гладкостенный турбу­лентный режим λ²=f²(Re); 3 — доквадратичный турбулентный режим λ³=f³(Re); 4 — квадратичный турбулентный режим λ⁴=f⁴(Re).

Для промышленных труб, в которых шероховатость неравномерна, в качестве ее характеристики применяется эквивалентная абсолютная шероховатость ∆, значения которой для некоторых типов труб приведены в табл.3.8 [5, 11]. Графическая зависимость λ от Rе для таких труб, обобщенная по результатам многих исследований (главным образом ВТИ), представлена на рис.3.10 (ламинарный режим не по­казан). Более подробные таблицы значений эквивалентных шероховатостей приведены в [6, 12].

Рис. 3.9. Зависимость гидравлического коэффициента трения от числа Рейнольдса для круглых труб c равномерной (песочной) шероховатостью.

1—2 — зоны ламинарного и гладкостенного режимов; 3—4 — зоны доквадратичного и квадратичного сопротив­лений; К—К — приблизительная нижняя граница квадратичного режима; А — расчет по формуле λ = 64/Rе; Б— расчет по формуле λ = 0,316/Rе; В — расчет по формуле Прандтля 1/√λ = 2lg(Re/√λ) – 0,8.

Таблица 3.8 Эквивалентная абсолютная шероховатость труб из разных материалов

Материал и способ изготовления труб	Состояние трубы	Δ, мм
Тянутые из стекла и цветных металлов	Новые технически гладкие	(0,001— 0,002)/0,0015
Бесшовные стальные	Новые и чистые	(0,01— 0,02) /0,014
Стальные сварные	После нескольких лет эксплуатации	(0,15—0,3)/0,2
	Новые и чистые	(0,03—0,12)/0,05
	С незначительной коррозией, после очистки	(0,10—0,20)/0,15
	С умеренной коррозией	(0,30—0,70)/0,5
	Старые с сильной коррозией	(0,80—1,5)/1,0
	То же с большими отложениями	(2,0—4,0)/3,0
Стальные оцинкованные	Новые и чистые	(0,10—0,20)/0,15
	После нескольких лет эксплуатации	(0,40—0,70)/0,5
Чугунные	Новые асфальтированные	(0,08—0,26)/0,12
	Новые без покрытия	(0,20—0,50)/0,3
	Бывшие в употреблении	(0,5—1,5)/1,0
Асбоцементные	Новые	(0,05—0,10)/0,085
Бетонные	Новые из предварительно напряженного бетона	(0,02 — 0,05)/0,03
	Новые центробежные	(0,15—0,30)/0,2
	Бывшие в употреблении	(0,30—0,80)/0,5
	Из необработанного бетона	1,0—3,0

Примечание. В числителе приведены пределы изменения ∆, в знаменателе — его средние значения.

Рис. 3.10. Зависимость гидравлического коэффициента трения от числа Рейнольдса для круглых труб c неравномерной шероховатостью.

Табл.3.9 Наиболее употребительные расчетные формулы для коэффициента λ даны в табл.3.9

Таблица 3.9 Сводная таблица расчетных формул для гидравлического коэффициента трения

Зона сопротив­ления (рис. 3.9)	Режим течения	Границы зоны	Расчетные формулы
1	Ламинарный	Rе < 2300	λ = 64/Rе
2	Турбулентный	4000< Rе< 20d/∆	λ = 0,316/Rе0,25(Rе<105)	Для всех турбулент-
	гладкостенный		(Блазиус)	ных режимов
			λ = (1,81gRе - 1,5)-2 (Конаков)	λ = 0,11(∆/d+68/Re)0,25
3	Турбулентный доквадратичный	20d/∆< Rе< 500d/∆	λ =[[Image:]] (Rе, d/∆) (см. рис. 3.10)	(Альтшуль)
4	Турбулентный	Rе > 500 d/∆	λ = 0,11(∆/d)0,25 (Шифринсон)
	квадратичный		λ = (1,74+21g[[Image:]])-2
			(Никурадзе)

Для труб некруглого сечения при определении потерь напора следует пользоваться формулой (3.50). Коэффициенты λ для некоторых форм поперечного сечения приведены на рис. 3.11 [ 7 ]. Для других форм поперечного сечения данные о λ можно найти в [6, 12].

Рис. 3.11. Зависимость гидравлического коэффициента трения от числа Рейнольдса для труб некруг­лого сечения:

1— ламинарное течение, λ = С/Rе; 2 — турбулентное течение, λ = 0,316/Rе^0,25; -----ламинарное течение в круглой трубе, С = 64; а — равнобедренный прямоугольный треугольник, С = 52; б — равносто­ронний треугольник, С = 53; в — квадрат, С = 57; г — прямоугольник (3,5:1), С = 71; д — кольцевая щель, С = 96; О — измерения Никурадзе; • — измерения Шиллера; ∆ — d₁/d₂ = 0,6; □ — d_1'/d₂= 0,8, измерения Коха и Файнда.

Сжимаемость газов мало влияет на зависимость λ = f(Re), о чем свидетельствуют опытные данные, приведенные на рис. 3.12 [ 7 ].

Рис. 3.12. Зависимость гидравлического коэффи­циента трения для гладкой трубы от числа Рей­нольдса при дозвуковом и сверхзвуковом течени­ях газа

• — дозвуковое течение; О — сверхзвуковое тече­ние; расчет по формуле Прандтля—Никурадзе 1/√λ = 2lg(Re√λ) – 0,8

Однако в области чисел М, близких к 1, наблюдаются заметные отклонения значений λ для газа от значений этого коэффи­циента для несжимаемой жидкости [ 8 ] (рис.3.13).

Рис. 3.13. Влияние числа Маха на гидравлический коэффициент трения при дозвуковом течении газа в гладкой трубе:

λ, λ_и — коэффициенты трения для газа и несжимаемой жидкости; О — опыты МЭИ; ▲ — опыты МО ЦКТИ.

Внутренняя структура течения в круглых трубах зависит от режимов течения. При стабилизированном ламинарном течении распределение местных скоростей подчиняется параболическому закону

u=(1/4μ)(r2-r02)dP/dz

(3.53)

или в безразмерном виде

u/umax=1-r2/r02

(3.54)

где р — давление; r₀ — радиус трубы; z— координата, отсчитываемая вдоль оси трубы вниз по течению; u_mах — максимальная скорость:

umax=-(1/4μ)r02dP/dz

(3.55)

Средняя скорость в 2 раза меньше максимальной: v = u_mах /2. Падение давления ∆р на участке горизонтальной трубы длиной l определяют по формуле Пуазейля

∆p = 32µlv/d2 .

(3.56)

Из уравнения Бернулли (3.48), составленного для граничных сечений участка l, следует, что ∆р = ρgh_Д, h_Д— потери напора и, следовательно,

hД=32vlν/(gd2)

(3.57)

откуда вытекает, что λ = 64/Rе, где Rе = vd/ν. Для наклонной трубы формула (3.57) выражает паде­ние гидродинамического напора: ∆H_гд= ∆р/ρg + z₁-z₂= h_Д, где z₁и z₂ — отметки центров тяже­сти сечений трубы в начале и конце участка l.

Стабилизированное течение устанавливается лишь на некотором расстоянии от входа в трубу, за пределами так называемого начального участка, длина которого для круглой трубы l_нач ≈ 0,04dRе.

Падение давления на начальном участке не подчиняется формуле Пуазейля (3.56), но прибли­женно может быть определено по формуле

р0–р2=64lначρv2/(Re*d*2)+2,1ρv2/2

(3.58)

где р₀ — давление в резервуаре, откуда берет на­чало труба; р₂ — давление в конце начального участка (подробнее о начальном участке см. [ 9 ]).

Разрушение ламинарного режима в трубе и пе­реход к турбулентному режиму происходят при достижении критического числа Рейнольдса. Для круглых труб это значение составляет приблизи­тельно 2300. При Re ≤ Rе_кр наблюдается устойчивый ламинарный режим; при Rе > Rе_кр возможно появление турбулентности, но не исключено и со­хранение ламинарного режима, который, однако, является неустойчивым. Для труб некруглого сече­ния критическое число Рейнольдса приблизитель­но равно 2*10³(см. рис. 3.11), причем Rе = vd₁/ν, где d₁ — гидравлический диаметр, определяемый соотношением 4S/χ, в котором χ — смочен­ный периметр сечения S трубы.

При стабилизированном турбулентном тече­нии в трубах распределение местных осредненных скоростей описывается полуэмпирическими или эмпирическими формулами. Наиболее из­вестные из них:

а) логарифмическая формула для гладкостенного режима течения

u/u*=5,75lg[u**y/ν],

(3.59)

где u_*=√(τ₀/ρ) —динамическая скорость; τ₀ — касательное напряжение на стенке; у — расстояние от стенки. Другая форма этой зависимости имеет вид

(umах - u)/ u*= – 5,75 lg (у/r0),

(3.60)

где U_mах — максимальная скорость (на оси трубы). Средняя скорость связана с максимальной соотно­шением

(Umах-v)/ u* =4,03;

(3.61)

б) универсальная логарифмическая формула для всех турбулентных режимов в шероховатых трубах

u/u*=5,75lg[y/Δ]+f(u*Δ/ν)

(3.62)

где функция f(u_*Δ/ν)=B₁ определяется графи­ком, приведенным на рис. 3.14;

в) степенная формула (эмпирическая)

u/umax=(y/r0)n

(3.63)

где показатель в зависимости от числа Rе изме­няется от 1/6 до 1/10. Значение, соответствующее гладкостенному режиму (при Rе_кр ≤ Re ≤10⁵ ): n=1/7.

Вид функции B₁, определяющей закон распределения скоростей в шероховатых трубах.

Местные гидравлические сопротивления. К этим сопротивлениям относятся всякие резкие из­менения формы граничных поверхностей потока (расширения, сужения, изгибы, изломы и т.п.). Об­щей зависимостью для определения потерь напора в местных сопротивлениях служит формула Вейсбаха

hм=ζмv2/2g

(3.64)

или

Δpм=ζмρv2/2

(3.65)

где ζ_м — коэффициент местного сопротивления, зависящий в общем случае от числа Rе и конфигу­рации граничных поверхностей.

Общий характер этой зависимости для несколь­ких типов местных сопротивлений приведен на рис. 3.15 [ 5, 11 ].

Рис. 3.15. Зависимость коэффициента местных сопротивлений от числа Рейнольдса

□—тройник; ▼—шаровой клапан; ∆— уголь­ник 90°; • — разъемный клапан; О — диафрагма (при отношении площади отверстия к площади трубы п = 0,05).

Эти кривые удовлетворительно опи­сываются формулой вида

ζм=A1/Re+ζкв

(3.66)

где А₁ и ζ_кв — постоянные, зависящие от геомет­рической формы местного сопротивления. В табл.3.10 [11] приводятся значения этих постоянных для не­скольких видов местных сопротивлений.

Таблица 3.10 Значения А₁ и ζ_кв для некоторых местных сопротивлений

Вид сопротивления	А1	ζкв
Внезапное расширение трубопровода (выход тру­бы в большой резервуар) Кран пробочный Кран обыкновенный Кран угловой Шаровой клапан Угольник: 90° 135° Колено 90° Тройник Задвижка: n*=1 n = 0,75 n = 0,5 п = 0,25 Диафрагма: п = 0,64 п = 0,40 n = 0,16 п = 0,05	30 150 3000 — 5000 400 5000 400 600 130 150 75 350 1300 3000 70 120 500 3200	1 0,4 2,5 — 5,0 0,8 45 1,4 0,4 0,2 0,3 0,15 0,2 2 20 1 7 70 800

• Через ζ_кв обозначено отношение площади проход­ного сечения, открытого задвижкой, или отверстия диафрагмы к площади сечения трубы.

Величина ζ_кв выполняет функцию коэффициента местного сопротивления при весьма больших числах Rе (в области квадратичного сопротивления). Значе­ния ζ_м отнесены к скоростному напору перед мест­ным сопротивлением.

В большинстве случаев местные сопротивле­ния работают при больших числах Rе или в услови­ях квадратичного режима, когда ζ_м = ζ_кв, а потому основное внимание уделено зависимости постоян­ной ζ_кв от геометрических параметров. Наиболее полные данные о коэффициентах местных сопро­тивлений собраны в [6, 12].