Упругие волны
● Связь длины волны λ, периода Τ колебаний и частоты ν
;
,
где
-
скорость распространения колебаний в
среде (фазовая скорость).
● Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
,
где
-
смещение точек среды с координатой х в
момент времени t;
А- амплитуда волны; ω- циклическая
(круговая) частота;
-
волновое число (λ- длина волны;
-
фазовая скорость; Т- период колебаний);
-
начальная фаза колебаний.
● Связь между
разностью фаз
и разностью хода
.
● Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн
;
,
где m=1,2,3….. .
● Фазовая скорость и групповая u, а также связь между ними
.
Уравнение стоячей волны
.
● Координаты пучностей и узлов
.
● Эффект Доплера в акустике
,
где ν – частота
звука, воспринимаемая движущимся
приемником; ν0
– частота
звука, посылаемая источником;
– скорость движения приемника;
– скорость движения источника;
- скорость распространения звука. Верхний
знак берется, если при движении источника
или приемника происходит их сближение,
нижний знак – в случае их взаимного
удаления.
Примеры решения задач
Задача 1.
Движение материальной точки задано
уравнением
(м).
Определить скорость точки в моменты
времени t1=2
с
и t2=4
с,
а также среднюю скорость в интервале
времени от t1
до t2.
Решение:
Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае
(м/с).
Найдем
V1
и V2:
,
м/с;
,
м/с.
Средняя скорость
где
(м),
(м)
м/с.
Ответ: V1=7
м/с, V2=11,4
м/с,
м/с
Задача 2.
Тело массой
кг
движется по вертикальной стене. Сила
действует под углом = 300
к вертикали. Коэффициент трения
.
Найти величину силы
,
если ускорение тела направлено вверх
и равно a
= 2
м/с2.
Решение:
Н
а
тело действуют четыре силы: сила
,
сила тяжести
,
сила реакции опоры
и сила трения
.
Покажем эти силы на рисунке.
Запишем II закон Ньютона в виде
.
(1)
Ось OY
направим вертикально вверх, ось OX
– перпендикулярно стене. В проекциях
на оси координат уравнение (1) примет
вид
OХ:
(2)
OY:
.
(3)
Сила трения скольжения
.
(4)
Используя (2) и (4), перепишем (3):
.
Отсюда
Н.
Ответ: Н.
Задача 3. Частица массой m1, имеющая скорость V2, налетела на покоящийся шар массой m2 и отскочила от него со скоростью U1 под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U2 шара после соударения? Считать удар центральным.
Решение:
Используя закон сохранения импульса, получим
На рисунке покажем импульсы тел.
М
одуль
импульса шара найдём, используя теорему
Пифагора:
,
отсюда
Ответ:
Решение:
Задача 4. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V0 должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.
Обозначим: V – скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U – скорость шара с пулей в верхней точке.
В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид
mV0 = (m + M) V. (1)
Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX .
В нижнем положении
шар с пулей обладает только кинетической
энергией
;
в верхней точке
кинетической
и потенциальной (m+M)gh
энергиями, где h
= 2R =2l.
Закон сохранения механической энергии запишем в виде
.
(2)
После преобразований
.
(2)
В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:
(3)
где
Из уравнения (1) выразим V0:
.
(4)
Из уравнения (3)
(5)
Подставив (5) в (2), получим
Найдем V0 , вернувшись к (4)
Ответ:
Задача 5. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.
Решение:
Тело участвует в сложном движении:
1)поступательно движется вниз по наклонной плоскости;
2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.
На рисунке покажем силы, действующие на тело.
Д
ля
поступательного движения запишем II
закон Ньютона в проекциях на ось OX.
.
(1)
Для вращательного движения используем закон
,
(2)
где
-
момент инерции,
- угловое ускорение.
Момент силы
создает сила трения, плечо которой равно
R,
две другие силы не создают вращающего
момента.
.
Перепишем (2):
.
Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):
Отсюда
.
(4)
Зная моменты инерции диска и шара
,
найдем ускорения диска и шара
,
Ответ:
,
Задача 6. Две
частицы движутся навстречу друг другу
со скоростями
.
Найти их относительную скорость.
Решение:
Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,
,
где
,
-скорости первой и второй частицы;
-
их относительная скорость: с- скорость
света в вакууме.
Это означает, что, во первых, ни в какой инерциальной системе отсчёта скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ:
=
0,91С.
Задача
7.
Математический
маятник длиной l1=40 см
и физический маятник в виде тонкого
прямого стержня длиной l2=60 см
синхронно колеблются около одной и той
же горизонтальной оси. Определить
расстояние a
центра масс стержня от оси колебаний.
Решение:
При синхронном
колебательном движении маятников их
периоды равны
,
где
.
Отсюда
(1)
Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:
(2)
Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение
(3)
Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.
Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.
Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.
Ответ: a1=10 см, a2=30 см.
Задача
8.
К пружине подвешен груз массой
.
Зная, что пружина под влиянием силы
растягивается на
,
определить период вертикальных колебаний
груза.
Решение
Период
колебаний груза на пружине
,
где
- коэффициент жесткости пружины. Учитывая,
что
,
находим
и, подставив, получим
.
Ответ:
.