Динамика материальной точки и поступательное движение твёрдого тела
● Импульс материальной точки
.
● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной очки)
.
● Сила трения скольжения
,
где μ- коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.
● Закон сохранения импульса для замкнутой системы
,
где n- число материальных точек (или тел), входящих в систему.
Работа и энергия
● Элементарная работа, совершаемая постоянной силой F на элементарном перемещении ds,
,
где Fs- проекция силы на направление перемещения; α- угол между направлениями силы и перемещения.
● Работа, совершаемая силой, на пути S
.
● Работа постоянной силы
,
где угол α – угол между направлением действия силы и направлением перемещения.
● Мгновенная мощность
,
или
.
● Кинетическая энергия движущегося тела
.
● Связь между силой, действующей на тело в данной точке градиентного или потенциального (или консервативных сил) поля, и потенциальной энергией частицы
,
-
единичные векторы координатных осей.
● Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на
высоту h
(при
),
,
где g- ускорение свободного падения.
● Сила упругости
,
где ∆х- абсолютное изменение длины; k- коэффициент упругости.
●Потенциальная энергия упругодеформированного тела
.
● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)
.
Механика твёрдого тела
● Момент инерции материальной точки
,
где m- масса материальной точки; r- расстояние до оси вращения.
●Момент инерции системы материальных точек (тела)
,
где ri
– расстояние от материальной точки
массы mi
до оси вращения. В случае непрерывного
распределения массы
.
●Теорема Штейнера
,
где J0
– момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс; J
– момент инерции относительно произвольной
оси, параллельной данной, отстоящей от
первой на расстоянии
;
m-
масса тела.
● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z
,
где Jz- момент инерции тела относительно оси z; ω- его угловая скорость.
●Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно без скольжения при одновременном вращении
,
где J0
– момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс; m-
масса тела;
– скорость центра масс тела; ω-
угловая скорость тела.
● Момент силы относительно неподвижной точки
,
где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F. Модуль момента силы
,
где
-
плечо силы (кратчайшее расстояние между
линией действия силы и осью вращения).
● Работа при вращении тела
,
где
-
угол поворота тела;
-
момент силы относительно оси z.
● Момент импульса
.
● Момент импульса твердого тела относительно произвольной оси z
,
где ri
– расстояние от оси до отдельной частицы
тела;
- импульс этой частицы; Jz
– момент инерции тела относительно оси
z;
ω – его угловая скорость.
● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела
.
● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z
,
где ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции тела относительно оси z.
● Напряжение при упругой деформации
,
где F- растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.
● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
,
где E
– модуль Юнга, ε – относительное
приращение длины стержня
.