14.2. Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки,

называется скалярная величи-

на, равная половине произведения ее массы на квадрат скорости точки.

Пусть точка М перемещается под действием системы сил по некоторой траектории, как это показано на рис. 14.13. Найдем выражение, отражающее изменение кинетической энергии точки. Для этого воспользуемся основным законом динамики (11.1) и спроек-тируем обе части на касательную ось, получим:

Формула касательной составляющей ускорения может быть преобразована следующим образом: Подставим (14.69) в (14.68), получим:

Умножим обе части (14.70) на dS, получим:

Представим левую часть (14.71) в виде дифференциала кинетической энергии точки и учтем, что в правой части под знаком суммы стоит элементарная работа k-й силы. Учитывая все это, получим:

Выражение (14.72) отражает теорему об изменении кинетической энергии точки, пред-ставленную в дифференциальном виде.

Оно показывает, что изменение кинетической энергии точки равно сумме элементар-

ных работ всех сил, приложенных к данной точке.

Эта же теорема может быть записана в интегральном виде. Для этого необходимо взять интеграл от обеих частей (14.72). Учтем, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, получим:

или:

Выражение (14.74) отражает теорему об изменении кинетической энергии точки, представленную в интегральном виде.

Оно показывает, что изменение кинетической энергии точки на ее конечном перемеще-

нии равно сумме работ, выполняемых всеми приложенными к ней силами, на том же перемещении.

14.3. Кинетическая энергия механической системы

Кинетической энергий механической системы называется скалярная величина, равная арифметической сумме кинетических энергий точек данной системы, т.е.:

Следует отметить, что кинетическая энергия механической системы:

- является величиной заведомо положительной;

- характеризует и поступательную и вращательную составляющие движения системы;

- внутренние силы влияют на значения кинетической энергии точек системы и, поэтому, изменяют кинетическую энергию всей системы.

Если в механическую систему входят тела, то величина ее кинетической энергии может быть найдена как сумма кинетических энергий отдельных тел:

В выражение (14.75) входит знак суммы, что в общем случае подразумевает трудоемкий процесс суммирования большого числа слагаемых. Для некоторых типов движения механических систем (тел) можно предложить достаточно простые выражения. Найдем эти формулы.

Поступательное движение механической системы

В этом случае все точки системы движутся с одинаковыми скоростями (свойства поступательного движения тела). Поэтому, выражение (14.75) можно преобразовать, вынеся за знак суммы постоянные величины:

или:

где

– масса механической системы.

Таким образом, кинетическая энергия механической системы при ее поступательном

движении равна половине произведения массы системы на квадрат ее скорости.

Вращательное движение механической системы

Рассмотрим тело (рис. 14.14), совершающее вращательное движение относительно вертикальной оси z. Представим это тело как механическую систему точек. Найдем для него формулу кинетической энергии, используя выражение (14.75), получим:

или:

где

– момент инерции тела относительно оси z.

Кинетическая энергия механической системы при ее вращательном движении равна половине произведения ее момента инерции, взятого относительно оси вращения, на квадрат угловой скорости.

Сравнивая формулы (14.78) и (14.80), нетрудно заметить, что между ними имеет место прямая аналогия. Действительно, в обоих случаях величина кинетической энергии определяется как половина произведения меры инертности тела (масса или момент инерции) на квадрат ее скорости.

Плоскопараллельное движение механической системы

Ранее было показано, что плоское движение тела можно представить как геометрическую сумму двух движений: поступательного и вращательного. Поэтому, кинетическая энергия системы при ее плоском движении может быть найдена по формуле:

где V_c – скорость центра масс механической системы;

I_cz – момент инерции механической системы относительно оси, проходящей через ее центр масс.

Найдем выражение, определяющее изменение величины кинетической энергии механической системы. Для этого докажем теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Все силы, действующие на точки системы, разделим на внешние и внутренние. Таким образом, к каждой точке будут приложены по две сходящиеся системы сил: внешних и внутренних.

Найдем равнодействующие этих систем:

внешних и внутренних сил, прило-

женных к произвольной k-й точке механической системы соответственно. Тогда выражение (14.72) теоремы об изменении кинетической энергии k-й точки запишется в следующем виде:

Очевидно, что такое же выражение можно записать для всех n точек системы. В результате получим систему n уравнений вида (14.82). Сложим почленно эти уравнения, получим:

или:

Выражение (14.84) отражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы, записанную в дифференциальной форме.

Взяв интегралы от обеих частей (14.84), можно получить выражение этой же теоремы, записанное в интегральном виде:

где Т₀, Т₁ – значения кинетической энергии системы в начальный и конечный моменты

времени,

т.е.: изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее пере-

мещении равно сумме работ на этом же перемещении всех приложенных к си-стеме внешних и внутренних сил.

Ранее было показано, что работа внутренних сил твердого тела равна нулю. Поэтому, если механическая система представляет собой одно или несколько твердых тел, то последнее слагаемое в (14.85) обращается в нуль. В общем же случае, внутренние силы способны совершать работу и, тем самым, влиять на величину кинетической энергии системы.