4. Главный момент количеств движения механической системы
Главным моментом количеств движения механической (кинетическим моментом) называется геометрическая сумма моментов количеств движения материальных точек данной системы:
Аналогично (14.40) определяются кинетические моменты системы относительно координатных осей:
Если количество движения системы, Q, характеризует поступательную составляющую движения механической системы, то кинетический момент, К, - ее угловое перемещение. Очевидно, что выражения (14.40) и (14.41) неудобны для вычисления кинетических моментов, поскольку они подразумевают длительный процесс суммирования. При вращательном движении тела можно предложить удобную форму вычисления данной характеристики.
На рис. 14.6 представлено тело, совершающее вращательное движение относительно неподвижной оси z. Найдем Kz для данного случая, для чего запишем момент количества движения произвольной точки М относительно оси z. Получим:
Для достижения цели воспользуемся выражением (14.41). Подставив в него (14.42),
получим:
или Kz=Izω (14.43) |
|
||
где |
|
– осевой момент инерции тела, являющийся |
|
мерой инертности тела при вращательном движении. Нетрудно проследить прямую аналогию между выражениями (14.43) и |
|||
(14.18). Действительно, кинетический момент и количество движения являются динамическими характеристиками механической системы. Они определяются как произведение меры инертности на скорость. В случае расчета величины количества движения, характеризующей поступательную составляющую движения системы, используется масса и линейная скорость, а при определении кинетического момента – момент инерции и угловая скорость. Структура этих выражений следующая:
5. Теорема об изменении кинетического момента
Для вывода теоремы об изменении кинетического момента механической системы воспользуемся выражением (14.33), отражающим изменение момента количества движения точки. Механическую систему представим как совокупность n материальных точек (рис. 14.2). При этом классифицируем все силы на внешние и внутренние. Для произвольной k-й точки правая часть выражения (14.33) примет следующий вид:
где |
|
– равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке. |
Для каждой точки механической системы можно составить выражение (14.44), где индекс k примет свое значение, соответствующее номеру точки (k=1…n). Таким образом получим систему, состоящую из n дифференциальных уравнений вида (14.44). Сложим почленно эти уравнения, получим:
Согласно второму свойству внутренних сил механической системы последнее слагаемое (14.45) равно нулю, а в левой части, под знаком дифференциала, имеем выражение кинетического момента (14.40). С учетом этого выражение (14.45) можно переписать в виде:
что и отражает теорему об изменении кинетического момента механической системы, а именно: производная по времени от кинетического момента механической системы, определенного относительно произвольного неподвижного центра, равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.
Проектируя (14.46) на координатные оси, получим выражение теоремы в скалярной форме записи. Например, на ось х:
Практическая ценность этих выражений заключается в том, что при их использовании нет необходимости учитывать внутренние силы системы.
Частным случаем доказанной теоремы является закон сохранения кинетического момента механической системы, который может иметь место, когда:
1. |
|
, тогда K0=const, т.е. кинетический момент системы не изменяется со вре- |
менем ни по величине, ни по направлению.
2. |
|
но сумма проекций внешних сил на какую-либо из осей равна нулю, на- |
||
|
пример, |
|
Тогда: Kх=const, т.е. кинетический момент системы сохраня- |
|
ет свое значение относительно данной оси.