11.3. Уравнения движения точки

В зависимости от способа описания движения точки для решения задач используют различные формы записи уравнений. Получим дифференциальные уравнения движения точки в координатной и естественной формах.

Координатная форма записи уравнений движения точки

Для их написания воспользуемся выражением основного закона динамики в виде (11.1). Спроектировав обе части этого выражения на оси декартовой системы отсчета (рис. 12.1), получим:

Учитывая, что

и т.д., получим:

Таким образом, в декартовой системе отсчета движение точки можно описать системой трех дифференциальных уравнений второго порядка.

Естественная форма записи уравнений движения точки

В тех случаях, когда траектория движения точки определена заранее, успешно используют в решении задач естественный способ задания движения точки. Уравнения движения точки, соответствующие данному способу, получим, проектируя обе части выражения основного закона динамики (11.1) на оси τ, n, b (рис. 12.2):

получим:	Учитывая, что:

В (12.4) только в первые два уравнения входит кинематический параметр, характери-зующий движение точки, это – V. Последнее выражение в (12.4) по своему виду соответствует уравнению равновесия – уравнению статики. Из всех уравнений (12.4) только первое является дифференциальным. Таким образом, уравнения движения точки, соответствующие естественному способу, являются более простыми по своему виду. В этом их преимущество над уравнениями вида (12.2).

11.4. Задачи динамики

Все задачи динамики можно условно поделить на две группы: первая (прямая) и вторая (обратная) задачи. Условность деления заключается в том, что не все задачи один к одному соответствуют формулировкам, указанным ниже. Возможно и их сочетание в пределах одной задачи.

В прямых задачах: по известным уравнениям движения точки определяют силы,вызы-

вающие его.

Таким образом, исходными для решения первой задачи динамики точки являются ее уравнения движения, записанные в одном из видов: векторном, координатном или естественном (см. тему: «способы задания движения точки»). Например, в координатной форме записи эти уравнения связывают координаты точки (x, y, z) с временем (t).

Алгоритм решения первой (прямой) задачи представлен ниже:

По известным уравнениям движения находят вторые производные от координат по времени и, умножая их на массу точки, m, определяют правые части выражений (12.2). Модуль равнодействующей, R, системы сходящихся сил, приложенных к точке, равен длине диагонали параллелепипеда, построенного на проекциях R_x, R_y, R_z как на сторонах. С помощью направляющих косинусов можно определить направление вектора равно-действующей в пространстве.

В обратных задачах: по известным силам, действующим на точку, и начальным усло-

виям движения определяют уравнения ее движения.

Алгоритм решения обратной (второй) задачи прямо противоположен алгоритму прямой. Здесь по известным силам требуется найти уравнения движения точки.

Дифференциальные уравнения движения точки необходимо дважды проинтегрировать. При этом появятся шесть неизвестных постоянных С₁…С₆. Эти постоянные находят из шести уравнений системы с помощью начальных условий движения точки. В начальные условия движения входят значения параметров, определяющих положение и скорость точки в начальный момент времени, это x_O, y_O, z_O, V_xO, V_yO, V_zO. Результатом всех указанных действий являются уравнения движения точки.