Тема «Наибольший общий делитель.

Взаимно простые числа»

 

 Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел — это   самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся   без остатка.     Например:      у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4,               а у чисел 20 и 35   (НОД) равен 5  

 Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти  числа называются взаимно простыми.           Например:     у чисел     5 и 8 ,     11 и 18 ,     16 и 27     (НОД) равен   1 .  

    Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.         Например: у чисел   12 , 36 и 48   НОД   =   12 .   

Тема «Наименьшее общее кратное» Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a , и b .

 Пример: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных  чисел, например 6 и 8 ,   надо:       1) разложить их на простые множители;                 6   =   2   •   3 ;                8   =   2   •  2   •   2 ;               2 есть в разложении числа 6 и 8    ( подчеркиваем ее );      2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;                       2 • 3 ;       3) домножить их на недостающие множители из разложений             остальных чисел;                       2 • 3         •               2 • 2 ;       4) найти произведение получившихся множителей.                       2 • 3   •   2 • 2   =   24;     НОК ( 6 и 8 ) = 24 .  

Тема «Основное свойство дроби». 

 Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить   на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.           Это свойство называют основным свойством дроби.    

Тема «Сокращение дробей»

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от  единицы, называют сокращением дроби. 

 Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми   числами (имеют только один общий делитель ( 1 ) ), то такая дробь   называется несократимой. 

Наибольшее число, на которое можно сократить дробь — это   наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя.   

Тема«Приведение дробей к общему знаменателю»

При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и   знаменатель умножают на дополнительный множитель

   Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю,   например    и  ,   надо:           1)   найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей,               оно и будет их наименьшим общим знаменателем;                     НОЗ (наименьший общий знаменатель)     =   12 ;         2)   разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных   дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;                 дополнительный множитель для       равен     12 : 4 = 3 ;               дополнительный множитель для        равен     12 : 6 = 2 ;           3)   умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее               дополнительный множитель;   =  ;      =                

Тема «Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»

Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:            1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;       2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби.   

Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел»

Чтобы сложить смешанные числа, надо:     1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему               знаменателю:           2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно               дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась  неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и   прибавить ее к полученной целой части.

  Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:         1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему           знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной  части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь,           уменьшив на единицу, целую часть:   2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей   

Тема «Умножение дробей»

При умножении дроби на натуральное число, мы должны ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 

Чтобы умножить смешанную дробь на натуральное число, мы должны умножить и целую часть и числитель дроби на это число. 

 При умножении простой дроби на простую дробь, надо:          1) перемножить числители этих дробей и результат записать в числитель         2) перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель 

 Для умножения смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения простых дробей.

Тема «Нахождение дроби от числа»

 Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.  

Задача:  Туристы преодолели за день   60   км. Причем       часть пути они двигались на  велосипедах, а остальную пешком. Какое расстояние проехали туристы?   Решение :                 60   •       =   55 км.     О т в е т :   туристы проехали   55   километров.  

Тема «Применение распределительного свойства умножения»

Распределительное свойство умножения — (a + b) • c = a • c + b • c = ac + bc;  (a - b) • c = a • c - b • c = ac – bc.

Тема «Взаимно обратные числа»

 Два числа, произведение которых равно   1 ,   называют взаимно обратными.

  Значит, чтобы выяснить, являются ли два числа взаимно обратными,  их надо перемножить.   Если ответ равен единице,   числа   —   взаимно обратные.  

Тема «Деление дробей»

 Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.   

      :         =        •       =     = 2

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо делимое умножить на число, обратное делителю.    

: 3     =      •         =     

Тема «Нахождение числа по его дроби»

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо   это значение разделить на дробь.    Задача.   Две трети всех испеченных мамой пирожков были с капустой.  Сколько всего пирожков испекла мама, если пирожков с капустой  получилось 14 штук.           Решение:   если 14 шт — это     ,  то количество всех пирожков — 14 :      =   14 •      =   21 шт.    

Тема «Пропорции»

Равенство двух отношений называют пропорцией.  

Например :   12 : 16   =   18 : 24 ;         5 : 1,5   =   15 : 4,5 ;         1,1 : 22   =   3,3 : 66 ;  

 В верной пропорции произведение крайних членов равно   произведению средних.     

Верно и обратное утверждение:   если произведение крайних членов равно  произведению средних членов пропорции,  то пропорция верна. 

   Если в верной пропорции поменять местами средние члены или   крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.   Например:           12 : 16   =   18 : 24 ;       12 : 18   =   16 : 24 ;       24 : 16   =   18 : 12;