Методические указания к задачам

(1 - 19)

Задача 1.

1. Изобразить расчетную схему стержня и приложить заданное силы (сосредоточенные силы F₁, F₂; и F₃ представляются в долях ql), где

q - интенсивность продольной нагрузки,

l - параметр домны.

2. Стержень разбить на участки соответственно точкам приложения распределенных и сосредоточенных сил.

3. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей стержня уравнения равновесия сил, определить в начале и в конце каждого участка продольные нормальные силы.

При определении продольной силы в сечении нет необходимости каждый раз графически изображать оставшуюся часть стержня. Необходимо мысленно провести сечение, направить вектор нормальной силы в сторону внешней нормали, то есть от сечения и записать выражение для N= ∑Z

где Z — проекции на ось стержня внешних сил, действующих на рассматриваемую отсеченную часть стержня. Проекции внешних сил при этом записываются в правой части выражения для N со знаком плюс, если они направлены от рассматриваемого сечения, и минус, если они направлены к рассматриваемому сечению.

4. Найденные величины продольных сил (а долях ql) отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня: положительные, вызывающие растяжение,

— вверх, отрицательные, соответствующие сжатию,— вниз.

4. В соответствии с дифференциальной зависимостью dN/dz=-q_z концы ординат соединить линиями; проставить знаки и заштриховать эпюру параллельно ординатам.

6. Используя граничные условия (наличие "скачка" на ЭN в точках приложения внешних сосредоточенных сил, равного величине проекции силы на ось стержня и диференциально-интегральные зависимости dN/dz =- q_z и

, проверить правильность построения эпюры продольных сил.

Задача 2

Выполняется аналогично задаче 1. Вместо уравнения равновесия сил записывается для отсеченной части уравнение моментов (МК = -∑МZ).

При построении эпюры крутящих моментов И для Ее проверки используются дифференциально-интегральные зависимости dМК /dz = -mz,

.

Задачи 3, 4 и 5

Пункты 1, 2 - аналогичны соответствующими пунктам задачи 1. Для задач 3 и 5 определение опорных реакций является обязательным.

Опорные реакции в балке удобно определять из уравнений равновесия моментов ∑МА,В =0 , где А и В - опорные точки. Для проверки правильности вычисления опорных реакций записывается уравнение равновесия сил ∑Y=0, которое должно удовлетворяться тождественно.

3. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей балки уравнения равновесия сил, определить в начале и в конце каждого участка поперечные силы Q.

Для вычисления поперечной силы в сечении необходимо мысленно провести сечение и для одной из отсеченных частей записать выражение для силы Q=-∑Y*, где Y* проекции на ось Y (перпендикуляр к оси стержня z) внешних сил, действующих на рассматриваемою отсеченную часть. В соответствии с правилом знаков для поперечных сил проекции внешних сил записываются в правой части выражения для силы Q со знаком плюс, если они стремятся повернуть отсеченную часть по ходу часовой стрелки, и минус, если они направлены в обратную сторону - стремятся повернуть отсеченную часть против хода стрелки часов.

4. Найденные величины поперечных сил отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня положительные - вверх, отрицательные - вниз и в соответствий с дифференциальной зависимостью dQ/dz=q концы ординат соединить линиями; проставить знаки и заштриховать эпюру сил Q параллельно ординатам.

5. Используя дифференциально-интегральные зависимости dQ/dz = q и и граничные условия - наличие на ЭQ "скачка" а сечении балки под сосредоточенной силой, проверить правильность построения эпюры поперечных сил.

Величина "скачка" должна быть равна соответствующей силе, направление - совпадать по направлению силы, если рассматривается левая отсеченная часть балки (при обходе балки слева направо); при обходе балки справа налево направление "скачка" - против направления силы.

6. Если на какой-либо участке балки ЭQ пересекает ось стержня (на участке с q) определить абсциссы соответствующих сечений из условия подобия треугольников с ЭQ.

7. С помощью метода сечений, записывая для отсеченных частей балки уравнения равновесия моментов сил, определить в начале и в конце каждого участка изгибающие моменты М.

Изгибающий момент в сечении определяется из выражения М =∑Мс*, где Мс* - моменты внешних сил относительно точки С, соответствующей проведенному сечению балки действующих на рассматриваемую отсеченную часть (левую или правую). Знак изгибающего момента определяется в соответствии с правилом сжатого волокна, то есть в правой части выражения для момента М, момент внешней силы Мс* записывается со знаком плюс, если он стремится повернуть отсеченную часть балки вверх (сжатые волокна сверху), и со знаком минус, если отсеченная часть балки под действием момента Мс* стремится повернуться вниз (сжатые волокна внизу).

8. Вычислить экстремальные значения изгибающих моментов (Ммах, Ммin) - моментов для сечении с Q(z)=0 (абсциссы этих сечений найдены в п.6). Для вычисления изгибающего момента в сечении с абсциссой z (на расстоянии z от начала участка) удобно пользоваться интегральной зависимостью , где М(0) - изгибающий момент в начале участка (при z=0): - изменение изгибающего момента на длине z, равное площади ЭQ, соответствующей длины.

9. Найденные величины изгибающих моментов отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня, со стороны сжатых волокон и в соответствии с дифференциальной зависимостью и dM/dz = Q концы ординат соединить линиями. Заштриховать эпюру изгибающих моментов параллельно ординатам: знак на ЭМ не ставится.

10. Используя дифференциально-интегральные зависимости dM/dz=Q,

и граничные условия - наличие на ЭМ "скачка" в сечении балки, соответствующем точке приложения сосредоточенной пары сил, проверить правильность построений эпюры изгибающего момента. Величина "скачка" должна быть равна моменту сосредоточенной пары сил, а направление - совпадать с направлением момента пары.

Задачи 6, 7

Последовательность решения аналогична задачам 1-5. В плоской раме внутренними силовыми факторами являются продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент М. Внутренние силовые факторы для характерных точек (точек, соответствующих сечениям в начале и в конце каждого участка) вычисляется, используя метод сечений, из выражения: N=-∑Z*. Q=-∑Y*.

М=-∑Мс*. Здесь Z* и Y* проекции внешних сил, действующих на отсеченную часть рамы, соответственно ни оси z - ( ось участка ) и у - перпендикуляр к оси Z; Мс* - момент указанных сил относительно точки С, соответствующей проведенному сечению.

Знак сил N и Q устанавливаются так же как и в задачах 1, 3-5. На ЭN и ЭQ, ординаты которых, откладываются перпендикулярно оси соответствующего участка рамы, указывается знак внутреннего силового фактора. При построении ЭМ пользуется "правило сжатого волокна"; знак изгибающего момента на ЭМ не проставляется. Эпюры внутренних силовых факторов штрихуются линиями, перпендикулярными к оси соответствующего участка (параллельно соответствующим ординатам).

Для контроля правильности построения эпюр внутренних силовых факторов в плоской раме проверяются выполнение рассмотренных ранее дифференциальных зависимостей и равновесие узлов рамы. На ЭМ должно выполниться "правило циркуля" — если в ненагруженном узле сходятся только два стержня под любым углом), ординаты ЭМ на стержнях этого узла должны быть равны и отложены либо обе во внутрь, либо обе наружу.

Задача 8

В плоско-пространственно и раме внутренними силовыми факторами являются поперечная сила QY изгибающий МХ и крутящий Т моменты, действующие в плоскостях, перпендикулярных к плоскости рамы (силовые факторы N, Qx и Mх, расположенные в плоскости рамы заведомо равны нулю).

Записывая для любой отсеченной части уравнения равновесия сил и моментов (∑=Y, ∑=Mх, и ∑=Mz, где Y —ось, перпендикулярная к рамы, х— ось, перпендикулярная к оси соответствующего участка z и лежащая в плоскости рамы), вычисляются внутренние силовые факторы для характерных сечений (в начале и в конце каждого участка). При составлении уравнений равновесия рекомендуется изобразить в изометрической проекции соответствующую отсеченную часть рамы.

Эпюры внутренних силовых факторов изображаются в изометрических проекциях. При построении эпюр удобно применять скользящую систему осей координат, обычно правовинтовую; ось z — всегда направлять по оси стержня а сторону свободного конца, оси х и у - перпендикулярно оси z. Знак крутящего момента Т и поперечной силы QY определяется так же, как в задачах 2 и 3...5, и указывается на соответствующих эпюрах; эпюра изгибающего момента строится на сжатом волокне без простановки знака.

Для плоско-пространственной рамы с прямыми участками выполняются рассмотренные ранее дифференциально-интегральные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки и внутренними силовыми факторами.

Задача 9

1. Изобразить расчетную схему стержня, приложить заданные силы, выраженные в долях параметра нагрузки Р и разбить стержень на участки (границами участков являются точки приложения внешних сил и места изменения площади поперечного сечения).

2. Построить эпюру продольных сил (ЭN).

3. В соответствий с ЭN построить (в долях P/S) эпюру нормальных напряжений в поперечных сечениях стержни (Э ); на Э проставляется знак напряжений, совпадающий со знаком силы N.

4. Начиная от сечения, соответствующего заделке, перемещение которого известно (равно нулю), последовательно вычислить перемещения характерных сечений - в начале и в конце каждого участка: . Здесь W(z) — перемещение сечений с абсциссой z, отсчитываемой от начала соответствующего участка; W(0) - перемещение в начале участка; - удлинение или укорочение длины z, равное площади эпюры нормальных напряжений на длине z, деленное на модуль нормальной упругости материала Е. В соответствии с условием неразрывности деформаций перемещения смежных сечений на границе участков одинаковы.

5. Найденные величины перемещений (в долях PI/ES) отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стержня z. Эпюра перемещений (ЭW) не имеет скачков; штриховка осуществляется линиями, перпендикулярными оси стержня (параллельно ординатам эпюры).

6. По Э найти наибольшие (по модулю) напряжения max и их условия прочности mаx ≤ [ ] найти параметр нагрузки Р. Полученное число (в кН) округлить до ближайшего кратного двум или пяти целого числа (допускается перенапряжение до 5%).

7. По ЭW найти удлинение или укорочение отрезка а , где W(a) и W(0) – перемещения в конце и в начале участка длиной а, соответственно и наибольшее (по модулю) перемещение max W. Вычислить (в мм) и max W при принятом параметре нагрузки Р.

Задача 10

1. Изобразить расчетную схему стержневой системы и определить методом сечений нормальные силы в стержнях (в долях Р). Двойными линиями на расчетных схемах обозначены стержни большой жесткости, расчет которых в данной задаче не требуется.

2. Из расчета на прочность определить площади поперечных сечений рассчитываемых стержней.

3. Считая, что стержни должны быть изготовлены из равнобокого уголка подобрать по ГОСТ 8509-72 для каждого стержня соответствующий номер профиля.

Задача 11

1. Изобразить расчетную схему статически неопределимой системы, пронумеровать элементы системы (деформируемые стержни) и выразить их длины через параметр l.

2. Изобразить систему в деформированном виде и из геометрических

соотношений записать условие совместности перемещений. Обозначив через

Δl изменение длин элементов системы, представить условие совместности перемещений в удлинениях (условие совместности деформаций).

3. Используя закон Гука (Δl=Nl/ES) и заданные соотношения длин и площадей поперечных сечений элементов системы, из условия совместности деформаций найти соотношение усилий в стержнях.

4. С помощью метода сечений в соответствии с картиной деформаций (деформации элементов системы должны соответствовать направлению внутренних сил; при растяжении сила N направлена от сечения, при сжатии – к сечению) показать действующие на систему внешние и внутренние силы и записать условия равновесия сил.

5. Учитывая найденное в п.3 соотношение усилий, из уравнений равновесия вычислить (в долях силы F) внутренние силы в элементах системы и соответствующие напряжения в поперечных сечениях (в долях F/S).

6. Определить наиболее напряженный стержень и из условия прочности(mаx ≤ [ ], где [ ]= т/[k]) вычислить допустимое значение силы F (в кН).

7. Считая материал стержней системы идеально пластичным, представить предельное состояние системы - состояние, при котором возможно неограниченное (в связи с пластическим деформированием элементов системы) перемещение точки приложения силы F (механизм пластического разрушения).

С помощью метода сечений в соответствия с механизмом пластического разрушения изобразить внешние и внутренние силы, действующие на систему в предельном состоянии (предельное значение нагрузки обозначить через Fo; предельное значение внутренних сил - Ni° = т Si, где Si - площадь поперечного сечения элемента i в долях параметра поперечных размеров S).

8. Записать условия предельного равновесия (уравнения равновесия для сил предельного состояния) и из них найти предельную нагрузку Fо (в долях т S).

9. Из условия прочности по предельному равновесию вычислить допустимую нагрузку (в кН), которая должна быть больше допустимой нагрузки, найденной из расчета на прочность по наибольшим напряжения (см.п.6).

Задача 12

1. Изобразить расчетную схему балки, приложить заданные в долях параметра F нагрузки и разбить балку на участки. Из условий равновесия сил (ΣМА=0, ΣМВ=0, проверка ΣY=0, где А и В - опорные точка) найти опорные реакции.

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Эпюры внутренних силовых факторов строится в общем виде: ЭQ — в долях параметра F, ЭМ—а долях F1.

3. По ЭМ определить расчетное сечение балки (сечение с наибольшим изгибающим моментом max М и из условия прочности max =maxМ/Wx≤[ ] определить требуемую величину осевого момента сопротивления W (в см³).

4. По таблице сортамента (Сталь горячекатаная: балки двутавровые. ГОСТ 8239-72; швеллеры с уклоном внутренних граней, ГОСТ 8240-72) в соответствие заданной условиями задачи формой сечения типа I из условия Wx > W подобрать требуемый номер профиля (допускается перенапряжение не более 5%). При принятом номере профиля вычислить для сечения типа I площадь поперечного сечения Si (в см²) и момент инерция относительно нейтральной оси J_x (в см⁴ ).

5. Приняв для сечения типа II отношение, равным отношению для сечения типа I,

определить осевой момент сопротивления прямоугольника как функцию высоты h: Wx=bh²/6=f(h³). Из равенства Wх=f(h³)=W найти высоту сечения типа II, а затем, учитывая отношение b/h, его ширину. Из условия равной прочности с сечением I определить диаметр круглого поперечного сечения.

Для принятых размеров вычислить для прямоугольного и круглого поперечных сечений их площади S₂ и S₃ (в см²) и J_x (в см⁴).

6. Вычертить сечения трех типов в одном масштабе и сравнить вес соответствующих балок (отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений).

7. По ЭQ найти maxQ (по модулю) и в соответствующем сечении по формуле Д. И. Журавского для трех типов сечений вычислить наибольшие касательные напряжения (для точек нейтральной оси).

Задача 13

1. Изобразить расчетную схему балки, приложить заданные в долях F нагрузки, построить эпюры внутренних силовых факторов и по эпюре изгибающего момента установить расчетный момент maxМ (в долях F3).

2. Выразить размеры сечения в долях параметра поперечных размеров t и изобразить сечение в масштабе.

3. Определить положение центра тяжести сечения и найти (в долях t) расстояния от нейтральной оси до крайних волокон.

4. Расположить сечение выгодным образом (при выгодной расположении в сечении балки с maxМ наиболее удаленные от нейтральной оси волокна должны быть сжаты, т.е. уmax=у_c, так как [ ]с ≠ [ ]р где [ ]с и [ ]р - допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

Для расчетного сечения установить наиболее опасную точку (если у_р/у_с >[ ]р / [ ]с опасными являются растягивающие волокна; при у_р/у_с < [ ]р / [ ]с сжимающие. Здесь у_р, у_с = уmax - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных волокон в зоне растяжения и в зоне сжатия, соответственно).

5. Для заданных сечений вычислить (в долях t⁴) осевые моменты инерции относительно собственных нейтральных осей, параллельных нейтральной, и (используя формулу параллельного переноса) осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральней оси (вначале а долях t⁴, затем подставляя числовое значение параметра t, в см⁴).

6. Из расчета на прочность ко наиболее опасной точке найти допустимый параметр нагрузки F (в кН) и округлить его значение до ближайшего кратного двум или пяти целого числа (перегрузка допускается не более 5%).

7. При принятом значении параметра нагрузки для выгодного расположения расчетного сечения вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения (в МПа) и построить эпюру напряжений в сечении.

Задача 14

1. Изобразить расчетную схему стержня, разбить стержень на участки и поперечные размеры каждого участка, выразить а долях параметра поперечных размеров (в качестве такого параметра удобно принять размер d).

2. Построить эпюру крутящих моментов ЭТ.

3. Вычислить геометрические факторы прочности Wk и жесткости Jk участков в долях параметра поперечных размеров d.

4. Вычислить на каждом участке наибольшие касательные напряжений τ max (в долях M/d³) и построить Эτ.

5. Из условия прочности maxτ ≤ [τ] для опасного участка стержня вычислить допустимые размеры поперечных сечений.

6. Вычислить на каждом участке относительные углы закручивания (крутки) Ө (в долях M/Gd⁴) к построить для стержня ЭӨ.

7. В соответствий с ЭӨ, учитывая равенство (здесь φ(z) — угол поворота произвольного сечения; φ(0) — угол поворота сечения в начале участка), построить в относительных величинах (в долях Мl/Gd⁴} эпюру перемещений Эφ.

8. Из условия жесткости maxθ≤[0] определить числовое значение параметра поперечных размеров d (мм) в округлить полученное значение до кратного двум или пяти целого числа. При выполнении расчета на жесткость необходимо учесть, что на ЭӨ относительные углы закручивания, представленные в относительных величинах, имеют размерность рад,/м, а [ θ ] - задано в условии задачи в град/м.

9. Выбрать размеры поперечных сечений, удовлетворяющих условиям прочности и жесткости.

10. Вычислить (в град.) наибольший угол поворота поперечного сечения max φ.

Задача 15

1. Начертить в изометрии расчетную схему балки и построить эпюры изгибающих моментов (в долях Fl) для вертикальной и горизонтальной силовых плоскостей.

2. Изобразить в долях параметра t сечение балки, обозначить главные центральные оси х и у и вычислить соответствующие осевые моменты инерции сечения Jx и Jy (в долях t⁴) и моменты сопротивлении изгибу Wx и Wy (в долях t⁴).

3. Для двух сечений, соответствующих заделке и точке А, показать внутренние силовые факторы - изгибающие моменты Мх и Мy; для наиболее напряженных точек опасного сечения вычислить наибольшие напряжений σ max = Mx/Wx + My/Wy (в начале в долях Fl/t³, затем, подставляя значения параметров F, l и t, в МПа).

4. Подсчитать для балки коэффициент запаса прочности k=σ_т/σ_max.

5. Начертить сечение балки в масштабе и для сечения, соответст­вующего точке А, построить эпюры напряжений от каждого изгибающего момента М_х и М_у в отдельности.

6. Для угловых точек контура сечения А вычислить напряжения (в МПа) от совместного действия моментов.

7. Начертить сечение в масштабе и по величинам напряжений, полученных в п.6, построить суммарную эпюру напряжений по контуру сечения.

8. Для сечения А определить положение нейтральной линии и показать ее на чертеже (нейтральная линия должна пройти через центр тяжести и точки контура сечения, для которых σ =0).

Задача 16

1. Для балки определить степень статической неопределимости, выбрать и изобразить основную систему метода сил.

2. Образовать эквивалентную систему и записать условие эквивалентности — каноническое уравнение метода сил: .

3. К основной системе до направлению отброшенной связи приложить соответствующую единичную нагрузку (Х1=1) и построить эпюру изгибающих моментов ЭМ1 .

4. Нагрузить основную систему внешними силами и построить эпюру моментов ЭМр.

5. Вычислить коэффициент при неизвестном δ11 и Δ1р (удельное перемещение или податливость) и свободный член Δ1р канонического уравнения. Для определения перемещений δ11 и Δ1р применяется интеграл Мора, который удобно вычислять путем перемножения соответствующих эпюр изгибающих моментов по формуле Симпсона или по способу Верещагина.

Например, по формуле Симпсона

,

где , и - значения соответствующих нижнему индексу моментов на ЭM1 к ЭМр в начале, в середине и в конце участков (суммирование ведется по всем участкам балки); по способу Верещагина

,

где Ωр - площадь ЭМр на участке балки; M1(z) - значение момента М1 под центром тяжести площади Ωр (суммирование по всем участкам).

6. Из канонического уравнения найти X1 и для эквивалентной системы на основании принципа независимости действия сил вычислить изгибающие моменты в начале и в конце каждого участка балки: M=M1X1+Mp; здесь M1 и Mp - моменты, соответствующие ЭМ1 и ЭМр. Построить эпюру моментов ЭMΣ.

7. Для ЭMΣ сделать статическую и кинематическую (деформационную) проверки; балка под действием внешних сил и опертых реакций должна находиться в равновесии; перемещений в эквивалентной системе по направлению приложенных связей, например, по направлению Х1 должно быть разно нулю: , где - операция перемножения ЭМ1 с ЭMΣ; по формуле Симпсона или по способу Верещагина (см.п.5).

8. По ЭMΣ определить момент в опасном сечении балки (mаxM) и из условия прочности где ; найти наружный диаметр кольцевого сечения D (в см). В соответствии с ГОСТ 6636-69 принять ближайшее стандартное значение диаметра D ( в мм). (табл. 21).

9. К основной системе в точке А приложить вертикальную единичную силу и построить эпюру изгибающих моментов . Перемножая с ЭMΣ, вычислить перемещение (прогиб) ΔА (вначале в долях Fl³/EJх , затем, подставляй значения величин F,l, Е и D, в мм).

К основной системе в точке В приложить единичную пару сил (пару сил, момент которой равен единице), построить эпюру моментов M1¹¹ и, перемножая M1¹¹ и ЭMΣ, вычислить угол поворота сечения в точке В - (вначале долях Fl²/EJx , затем в рад. и в град.).

11. Используя найденные перемещения ΔА и θ и граничные условия (условия на опорах балки), в соответствии с ЭMΣ построить примерный вид упругой линии (эпюру перемещений ЭΔ). При построении ЭΔ необходимо учесть, что изогнутая ось неразрезном балки является плавной линией, не имеющей переломов; знак кривизны упругой линии совпадает со знаком изгибающих моментов, эпюра которых построена на сжатом волокне; точка перегиба изогнутой оси (точка с нулевой кривизной) соответствует сечению балки, для которого М=0.

Задача 17

1. Для рамы определить степень статической неопределимости и выявить избыточные ("лишние") связи, выбрать и изобразить основную систему метода сил.

2. Обозначить через Xi (i=1,.....,n) неизвестные метода сил, образовать эквивалентную систему и записать условие эквивалентности - Систему канонических уравнений метода сил.

, i = 1,…,n.

3. Последовательно нагружая основную систему силами (Xi (i=1,.....,n), определить опорные реакции и построить эпюры единичных моментов Mi.

4. Нагрузить основную систему внешней нагрузкой, определить опорные реакции и построить эпюру грузовых моментов М_Р.

5. По формуле Симпсона или по способу Верещагина вычислить коэффициенты при неизвестных , i=l,….,n; j=l,...,n и свободные члены = системы канонических уравнений метода сил.

6. Из системы канонических уравнений найти неизвестные (для решения системы алгебраических уравнений удобно применить метод последовательного исключения неизвестных). Подставляя найденные значения Xi в исходную систему уравнений, проверить правильность вычисления неизвестных,

7. Используя принцип независимости действия сил вычислить значения изгибающих моментов для эквивалентной системы в начале и в конце каждого участка;

,

где Mi - значения моментов соответственно эпюрам Mi; Мр - значение момента на ЭМ_Р.

Построить для эквивалентной системы ЭMΣ.

8. Для ЭMΣ сделать статическую и кинематическую проверки; для всей рамы в целом и для ее узлов должны выполняться условия статического равновесия; перемещения ; здесь (Мi) – эпюра моментов от силы равной единице, приложенной к основной системе по направлению отброшенной связи i.

9. По ЭMΣ определить момент в опасном сечении рамы (maxМ) и из условия прочности (max σ=maxM/Wx ≤ [σ], где Wx= h³/6) определить допускаемую нагрузку q.

Задача 18

1. Изобразить в изометрии расчетную схему стержня и построив эпюры внутренних силовых факторов N, Мх, Му, Т.

2. Для двух сечений, соответствующих заделке и окончания участка "а", показать действующие внутренние силовые факторы.

3. Определить нормальные и касательные напряжения предполагаемых опасных точках поперечных сечений

.

4. Используя теорию прочности Мора, найти опасную точку с наибольшим значением σэкв.

, (*)

где .

Для стержня при сжимающей продольной силе следует произвести расчет для двух точек: с наибольшими сжимающими и с наибольшими растягивающими напряжениями. При этом в формулу (*) значение о должно быть подставлено со своим знаком.

5. Из условия прочности по эквивалентному напряжению maxσэкв ≤ [σ]р в опасной точке вычислить допустимое значение нагрузки Р.

Задача 19

1. Выбрать параметры линейных размеров с (например, D1 = с) и нагрузки М (M=N/ω), нМ; здесь ω=πn/30 - угловая скорость вала). Линейные размеры вала а, l и D2 выразить в долях параметра с. Из условия равновесия ∑Mz=0 (z - ось вала) найти силы Р, R и Т в долях М/с.

2. Используя теоремы статики, привести силы P, R, 2T и Т к оси вала z; силу ЗТ заменять составляющими Qх и Q_y, действующими соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Изобразить в изометрии расчетную схему вала.

3. Для вертикальной и горизонтальной плоскостей определить опорные реакции; построить эпюры изгибающих М_х, М_у и крутящего Мк моментов (о долях параметра М).

4. В соответствии с гипотезой пластичности Треска-Сен-Венана (наибольших касательных напряжений) найти расчетное сечение вала, для которого выполняется равенство (можно применять и гипотезу пластичности Мизеса - энергии формоизменения, в соответствии с которой .

5. Из условия прочности maxσэкв = maxМэкв/Wx≤[σ] (где Wx= πd³/32 найти диаметр вала d. Полученный результат (в мм) округлить до ближайшего нормального линейного размера (см. таблицу 21).

Задача 20

1. Изображать в изометрии для главных плоскостей стойки заданные условиями закрепления концов. Определить соответствующие коэффициенты приведения длины µх (в плоскости zOy) я µy (в плоскости zOx).

2. Для главных центральных осей сечения вычислить моменты инерции Jx, Jy и соответствующие радиусы инерции iх и i_y.

3. Найти гибкости стойки в главных плоскостях: и

4. Для наибольшей гибкости по таблице коэффициентов снижения допускаемого напряжения, используя линейную интерполяцию, найти коэффициент , где φi и φi+10 – табличные значения коэффициента φ, соответствующие гибкостям λi и λi+10 ближайших к λmax : λi< λmax< λi+10)

5. Из расчета на устойчивость найти допустимое значение нагрузки , где S - площадь поперечного сечения стойки: [σ] – основное допускаемое напряжение).

6. В соответствии с определить для стойки критическое значение напряжения σкр. При большой гибкости стойки ( > ) - подсчитывается по формуле Эйлера: при средней гибкости

λ0< λmax< λпр - по формуле Ясинского: ; для стойки малой гибкости (λmax< λ0) принять σкр= σт (если стойка выполнена из стали Ст.З, λпр = 100; λ0 = 66).

6. Вычислить коэффициент запаса по устойчивости k= σкр / σ , где σ =F/S.

Задача 21

1 . Приложить к балке силы, равные единице последовательно в точке удара и в т. A (Pi=1; i=1,2, соответственно) а для каждого вида нагружения построить эпюры изгибающего момента M1 и M2.

2. Для сечения балки вычислить геометрические характеристики жесткости Jx (м⁴) и прочности Wx (м³).

3. Найти податливости (перемещения от сил Pi=1; i=1,2) в точке удара δ11=(M1)(M1) и в т.А δ21=(M2)(M1) (вначале в долях 1/EJx, затем, подставке значения 1, Е и Jx, в мм/Н).

4. От статического действия груза весом Q вычислить наибольшее напряжение в балке (в МПа) и прогибы (в мм) в точке удара и в т. А

5. Для балки на жестких опорах найти коэффициент динамичности и вычислить наибольшее динамическое напряжение коэффициент запаса прочности и прогиб в т.А: .

6. Заменять правую опору балки пружиной и найти для этой опоры реакции R от статического действий силы веса груза.

Вычислим осадку пружины λ = R/C (мм).

7. Из геометрических соотношений, считая балку абсолютно жесткой, найти перемещения в точке удара Δ1(λ) и в т. А Δ2(λ) за счет осадки пружины, ( , ) где l — расстояние между опорами балки, l1 и l2 - расстояние от левой опоры до точки удара и до т. А, соответственно).

8. Определить перемещения в точке удара и в т.А, учитывая осадку пружины и изгиб балки: ,

9. Для балки с подпружиненной правой опорой найти коэффициент динамичности kд¹, и вычислить наибольшее динамическое напряжение maxσ¹, коэффициент запаса прочности n¹ и прогиб в т.А -

Полученные результаты сравнить с результатами расчета, выполненного в п.5.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ