2.3 Алгоритм научных исследований с помощью математического моделирования
Математическое моделирование – важное современное средство научных исследований и его применение требует соблюдения определенной строгости во избежание получения неверных выводов. Так, например, пренебрежительное отношение к разработке математического описания может привести к получению неразрешимой задачи (при ее не замкнутости), а игнорирование оценки адекватности – получению неверных выводов. Выведем выработанный практическими навыками алгоритм действий, которого рекомендуется придерживаться[15]:
1► изучение оригинала: выделение основных факторов, особенностей, диапазонов исследуемых параметров, условий и задач исследования, постановка (формулировка) задачи исследования, оценка требуемой точности;
2► феноменологическое описание оригинала ("физическое" описание): поиск аналогий и функциональных зависимостей на основе предыдущего этапа и достижений в различных областях науки;
3► математическое описание оригинала;
4► разработка алгоритмического и программного обеспечения для реализации математического описания с помощью ЭВМ;
5► проведение контрольного вычислительного эксперимента (воспроизводящего реальный известный случай поведения оригинала в конкретных условиях);
6► оценка адекватности результатов контрольного вычислительного эксперимента реальному случаю; при необходимости – повторение алгоритма с пункта 3, 2 или 1;
7► планирование вычислительного эксперимента в целях исследования;
8► проведение вычислительного эксперимента в целях исследования, обработка его результатов;
9► анализ результатов вычислительного эксперимента, сравнение с результатами изучения оригинала (при необходимости – повторение алгоритма с пункта 7 или 1);
10► формулировка выводов исследования.
Пункты 1 – 6 составляют процесс моделирования – построения математической модели. В нем можно выделить процесс идентификации, объединяющий пункты 3 – 6.
По такому алгоритму проведены многочисленные исследования особенностей динамики полета самолетов гражданской авиации, в том числе выявлены причины летных происшествий, разработаны рекомендации по летной эксплуатации (пожар центрального двигателя Ту-154; удар самолета Ил-86 хвостовой опорой о ВПП при неправильной посадке; выявление предельных значений скорости бокового ветра и коэффициента сцепления колес шасси с ВПП для предотвращения выкатывания; особые случаи посадки и взлета самолетов Ил-96-300 и Ил-96Т в сложных метеоусловиях и с отказами систем; аварии перегруженного самолета Ил-76ТД на взлете; взлет и посадка самолетов в условиях сдвига ветра)[6].
Можно сделать вывод, что алгоритм научных исследований является важнейшим материалом, который должен знать научный деятель при написании своей научной работы. Алгоритм требует строгого выполнения всех своих пунктов.
2.4 Этапы построения экономико-математических моделей
Общая схема процесса создания математической модели показана на рисунке 3
Рисунок 2.4.1 - Схема процесса математического моделирования
На этапе постановки задачи:
1.Определяется объект исследования.
2.Формулируется цель исследования, определяются характеристики системы, которые должна отображать построенная модель.
На этапе формализации:
1.Осуществляется анализ объекта исследования, устанавливаются его основные структурные и функциональные элементы. Раскрываются более существенные характеристики этих элементов, оказывающие влияние на достижение поставленной цели моделирования (определяется степень полноты модели). Характеристики системы делятся на параметры модели (характеристики, которые должны быть известны для построения модели) и переменные модели, которые должны быть определены в результате моделирования.
2.Вводятся символические обозначения используемых величин.
3.Вырабатывается математическое описание взаимосвязей между элементами и характеристиками системы – строится собственно экономико-математическая модель.
На этапе решения в зависимости от цели моделирования и структуры получившейся математической модели выбирается способ проведения расчетов и выполняется решение задачи.
Решения математических моделей делят на три вида:
1.Аналитическое или точное. При данном решении результат мы можем получить в виде готовых формул для вычисления функций или отдельных величин по значениям параметров процесса. Точность полученного решения определяется только точностью вычисления по этим формулам и может быть очень высокой.
2.Приближенное решение получается с некоторой погрешностью, которая не может быть до конца устранена. Примером приближенного метода решения является графическое решение. Другие приближенные методы могут основываться на упрощении уравнений модели за счет отбрасывания малых слагаемых или разложения функций в ряды по степеням малого параметра с сохранением ограниченного числа членов ряда (особенно часто сохраняется только первый член разложения, так, чтобы задача стала линейной).
3.Численное решение обычно проводится на компьютере. Результат имеет вид не формулы, а числа или таблицы чисел, получаемых в результате выполнения компьютерной программы, реализующей некий алгоритм. Такое решение вычисляется с погрешностью, которая может быть сделана сколь угодно малой.
Не нужно путать точность решения с точностью модели в целом. Точность модели определяется в основном ее полнотой. Даже при наличии точного решения самих уравнений точность модели может оказаться недостаточной.
Аналитическое решение уравнений модели можно считать предпочтительным, так как явно записанные формулы решения дают возможность легко анализировать степень и характер влияния отдельных параметров на поведение системы, определять возможность кризисных ситуаций (в таких критических точках функция, выражающая решение, может иметь разрыв, излом или перегиб). Но аналитическое решение мы получаем в редких случаях.
Гораздо чаще можно получить численное решение. Но его анализ более сложен. Для определения поведения системы в разных ситуациях приходится каждый раз проводить решение заново, осуществляя так называемый машинный эксперимент. Это увеличивает объем работы[7].
Приближенное решение часто является результатом компромисса между желанием описать систему явными формулами для облегчения их анализа и невозможностью найти для уравнений модели точное аналитическое решение. В редких случаях приближенные решения служат исходными точками для осуществления тех или иных численных алгоритмов (пример, процессов последовательных приближений)[14].
Проверка адекватности математических моделей обычно происходит путем сравнения результатов моделирования с характеристиками реальной системы. Выгоднее всего для этого попытаться применить модель к какой-то уже существующей системе с известными характеристиками.
Для экономико-математических моделей такой способ проверки очень редко удается применить на практике (в основном для макроэкономических моделей). Часто модель предполагается адекватной просто на основе того, что в ее основе лежат более или менее достоверные гипотезы (выдвинутые на основе изучения систем и ситуаций, имевших место в прошлом) и более или менее точно определенные параметры. Проверка адекватности такой модели проводится постфактум (дословно это латинское слово переводится, как "после события") – по результатам последующего функционирования моделируемой системы. Если происходит так, что модель была неадекватна в сложившейся ситуации, а на ее основе были приняты конкретные хозяйственные решения – это может быть чревато для системы более или менее значительным кризисом[10].
Поэтому в экономико-математическом моделировании очень важен этап постановки задачи. Если на этом этапе выдвинуты неверные предположения о характере системы и процессов, происходящих в ней – результат может оказаться необратимым и даже катастрофическим[12].
Из чего следует, что моделирование в экономике является сложной деятельностью, сопряженной с определенными рисками. Тем не менее, в ходе анализа различных экономических систем накоплен значительный опыт построения экономико-математических моделей, доказавших свою адекватность во многих ситуациях.