Кейбір физикалық есептерді шешу кезінде кездесетін анықталған интегралдарды есептеу. Тіктөртбұрыш әдісі
Анықталған интегралды аналитикалық шешу үшін Ньютон-Лейбниц формуласын қолданады:
(13.1)
мұндағы
-
функциясының алғашқы функциясы. Бірақ
практикада бұл формуланы екі себепке
байланысты қолдана алмаймыз:
1) -функциясының алғашқы түрін қарапайым функциялар арқылы сипаттай алмайтындықтан;
2) -функциясының шамасы тек кесте түрінде берілсе.
Бұл
жағдайларда интегралды шешеу үшін
сандық әдістер қолданады. Сандық әдіс
бойынша анықталған и нтегралдың мәні
осімен,
және
түзулерімен
және
функциясының
қисығымен шектелген трапецияның ауданына
тең.
Трапецияның
ауданың есептеу үшін
аралығын
элементар аралыққа бөлеміз
бұл жердегі
,
.
Төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны
саламыз. Әр бір төртбұрыш абцисса
өсімен,
,
түзулерімен және
функциясымен құралған. АВСД төртбұрышының
ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
мұндағы
.
1 -сурет. Сол интегралдық қосынды
Кез-келген төртбұрыштың ауданы:
мұндағы
интегралдау қадамы. Онда сатылы фигураның
ауданы:
(13.2)
мұндағы
-интегралды
қосынды деп аталады.
Бөлу
нүктесін көбейтіп және барлық
элементтерін нөлге ұмтылдырсақ онда
сатылы фигураның жоғарғы шекарасы
сызығына
ауысады, сондықтан интегралды келесі
түрде жазамыз:
.
(13.3)
шеткі мәнге ие болған жағдайда, интегралдық қосындының көмегімен анықталған интегралдың мәнін келесі формула бойынша есептеледі:
(13.4
)
мұндағы екінші қосынды әдістің қателігі болып табылады. Ол қадамға байланысты болады.
(2.2) интегралды қосындысы сол қосынды деп аталады. Оң интегралды қосындыны алу үшін абцисса өсімен, , түзулерімен және функциясымен құралатын сатылы фигураны саламыз.
Оң интегралды қосынды бойынша есептеу формуласы:
.
(13.5)
2-сурет. Оң интегралдық қосынды
Сонымен қатар оң және сол төртбұрыштар әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналатын орташа мәндер әдісі бар. Бұл әдісте аралықтарындағы орта мән алынады:
.
(13.6)
3. 11. Сызықты емес теңдеулерді сандық шешу әдістері. Жартылай екіге бөлу әдістері
Сызықты емес теңдеулерді шешу.
Ғылыми зерттеу жұмыстарындағы ең жиі кездесетін мәселе
(10.1)
түріндегі сызықты емес теңдеулерді шешу, мұндағы - алгебралық та, трансценденттік өрнектен тұратын сызық емес функция. Сызықты емес теңдеулерді шешу екі қадамнан тұрады: түбір жатқан аралықтарды анықтау және түбірлерді табу.
Аралықтарды анықтау. Бұл қадамда тек ғана бір түбір жататын аралықтарды анықтаймыз. Келесі қадамда табылған аралықтардағы түбірлерді табамыз.
(10.1) теңдеуінің аралығында түбірі болу үшін келесі шарт орындалуы тиіс
(10.2)
Бисекция
(кесіндіні жартылай бөлу ) әдісі.
Бұл
әдісте түбірдің алғашқы жуықтауы ретінде
нүктесі алынады. Пайда болған екі
аралықтан
және
(10.2) шарт бойынша тек түбір жатқан аралық
алынады. Осы процедураны
рет қайталаймыз, яғни түбір жатқан
аралықты
рет кішірейтеміз. Интерацияны
болғанша жүргіземіз, мұндағы
-берілген
өте аз шама болып табылады.
Хорда
әдісі.
Бұл
жағдайда түбірдің алғашқы жуықтауы
ретінде
АВ
хордасының абцисса осімен қиылысу
нүктесі алынады. Қиылысу нүктесінің
координатасы
және
,
онда АВ хордасының теңдеуінен
(10.3)
теңдеудің түбірін табамыз:
.
(10.4)
Әрі қарай
пайда болған
және
аралықтарынан (10.2) шарт бойынша түбір
жатқан аралықты ғана таңдап аламыз.
Жоғардағы айтылған тәсіл бойынша келесі
жуықтауды
табамыз, сөйтіп әрі қарай
болғанға дейін қайталай береміз.
Ньютон
әдісі.
Бұл
әдістің жоғардағы айтылып кеткен
әдістерден ерекшелігі, түбір жатқан
аралықтан берілуі міндетті емес, тек
түбірдің алғашқы жуықтауы
берілсе болғаны. Жуық түбір болып,
бірінші қадам бойынша табылған
аралығының бір шеті алынуы мүмкін.
Келесі жуық түбір болып
нүктесінен
қисығына жүргізілген жанаманың абцисса
осімен қиылысу нүктесі алынады.
Жанаманың теңдеуі келесі түрде жазылады:
.
Бұл жерден екінші жуықтау бойынша анықталатын түбірді табуға болады:
Келесі жуықтаулар төмендегі формула бойынша есептелінеді:
.
(10.5)
Интерациялық
процесс
шарты орындалғанға дейін жүреді.