Задачі для самостійного розв’язання

1 Співставити силу кулонівської взаємодії двох електронів з силою їх гравітаційної взаємодії.

2 Обчислити прискорення, яке надає один електрон іншому, що знаходиться на відстані 1мм від першого.

3 Які заряди (пропорційні масам) потрібно було б надати Сонцю і Землі для того, щоб сила кулонівської взаємодії між ними була рівна силі гравітаційної взаємодії.

4 Тонка шовкова нитка витримує максимальну силу натягу 10 мН. На цій нитці підвішено кульку масою 0,6 г, що має позитивний заряд 11 нКл. Знизу в напрямку лінії підвісу до неї підносять кульку, що має від’ємний заряд – 13 нКл. На якій відстані між кульками нитка розірветься?

5 Заряджені кульки, що знаходяться на відстані 2 м, відштовхуються силою 1 Н. Сумарний заряд кульок 50 мкКл. Як розподілений цей заряд між кульками?

6 Негативний точковий заряд Q розташований на прямій, що з’єднує два однакових позитивних заряди q. Відстані між негативним зарядом і кожним позитивним відносяться як 1:3. У скільки разів зміниться сила, що діє на негативний заряд, якщо його поміняти місцем з найближчим позитивним?

7 Два негативних точкових заряди – 9 нКл і –36 нКл розташовані на відстані 3 м один від одного. Якої величини заряд і на якій відстані від першого заряду потрібно помістити, щоб система була у рівновазі.

8 Три однакових точкових заряди по 20 нКл кожний розташовані в вершинах рівностороннього трикутника. На кожний заряд діє сила 10 мН. Визначити довжину сторони трикутника.

9 Три однакових точкових заряди по 9 нКл кожний розташовані в вершинах рівностороннього трикутника. Якої величини точковий заряд потрібно помістити в центрі трикутника, щоб система була у рівновазі?

10 Чотири однакових точкових заряди по 10 нКл кожний розташовані в вершинах квадрата із стороною 10 см. Визначити силу, що діє на четвертий заряд збоку трьох зарядів.

11 Чотири однакових по модулю точкових заряди по 20 нКл кожний розташовані в вершинах квадрата із стороною 20 см таким чином, що однойменні заряди лежать на одній діагоналі. Визначити силу, що діє на позитивний заряд величиною 20 нКл, розташований в центрі квадрату.

12 Три кульки масою 10 г кожна підвішені на шовкових нитках довжиною 1 м, що сходяться в одному вузлі. Кульки однаково заряджені і висять в вершинах рівностороннього трикутника із стороною 0,1 м. Який заряд кожної кульки?

13 У вершинах правильного шестикутника розташовані три позитивних і три негативних заряди. Визначити напруженість електричного поля в центрі шестикутника при різних комбінаціях в розташувані зарядів. Модуль кожного заряду 5 нКл, а сторона шестикутника 3 см.

14 Розв’язати попередню задачу за умови, що всі шість зарядів позитивні.

15 Дві однаково заряджені кульки, підвішені на нитках рівної довжини в одній точці, розійшлись в повітрі на кут 2. Якою повинна бути густина матеріалу кульок, щоб при зануренні їх в гас, діелектрична проникність якого 2, кут між нитками не змінився. Густина гасу 0,8 10³ кг/м³.

16 Дві однаково заряджені кульки підвішені на нитках рівної довжини в одній точці занурені в рідину. Густини матеріалів кульок і рідини відомі. При якій діелектричній проникності рідин кут розходження ниток в рідині і повітрі буде однаковим?

17 Дві однакові кульки підвішені в повітрі на нитках таким чином, що їх поверхні дотикаються. Після того як кожній кульці надали заряд 0,4 мкКл, кульки розійшли на кут 60⁰. Визначити масу кульок, якщо відстані від центрів кульок до точок підвісу 0,2 м.

18 Дві маленькі кульки підвішені на довгих нитках в одній точці, заряджені однаково і знаходяться на відстані а. Одну з кульок зарядили. Якою стала відстань між кульками?

19 Складено пристрій двох однакових кульок масою 15 г, одна з яких закріплена, а друга підвішена на нитці довжиною 20 см таким чином, що кульки дотикаються. Після того, як кульки отримали однаковий заряд, рухома кулька відхилилась на кут 60⁰ від вертикалі. Визначити заряд кожної кульки.

20 На двох однакових крапельках води знаходиться по одному лишньому електрону, причому кулонівська сила їх відштовхування врівноважена силою їх взаємного тяжіння. Визначити радіус крапельок.

21 Кулька, що має заряд 50 нКл, дотикнулась внутрішньої поверхні незарядженої металевої сфери радіусом 20 см. Визначити поверхневу густину заряду на зовнішній поверхні сфери.

22 Визначити поверхневу густину заряду на зовнішній поверхні металевої сфери радіуса 20 см, якщо в центрі сфери на ізольованій паличці знаходиться кулька зарядом 50 нКл.

23 Однакові по модулю, але різні за знаком заряди по 18 нКл кожний розташовані в двох вершинах рівностороннього трикутника із стороною 2 м. Визначити напруженість електричного поля в першій вершині трикутника.

24 У вершинах при гострих кутах ромба, складеного з двох рівносторонніх трикутників із стороною а поміщені однакові позитивні заряди q. У вершині при одному з тупих кутів ромба поміщено позитивний заряд Q. Визначити напруженість електричного поля в четвертій вершині ромба.

25 Діагоналі ромба 96 см і 32 см. На кінцях довшої діагоналі розташовані точкові заряди 64 нКл і 352 нКл, а на кінцях коротшої – точкові заряди 8 нКл і 40 нКл. Визначити напруженість електричного поля в центрі ромба.

26 У вершинах квадрата з діагоналлю 2l знаходяться рівні по модулю, але різні за знаком точкові заряди таким чином, що заряди різних знаків летять на одній діагоналі. Визначити напруженість електричного поля в точці, яка знаходиться на відстані х від центра квадрата і розташована симетрично відносно вершин квадрата.

27У вершинах квадрата розташовані точкові заряди q, -2q, 3q i –4q. Визначити напруженість електричного поля і потенціал в центрі квадрата, якщо його діагональ а.

28 Три однакових заряди по 1 нКл кожний розташовані в вершинах прямокутного трикутника з катетами 40 см і 30 см. Визначити напруженість електричного поля в точці перетину гіпотенузи з перпендикуляром, опущеним на неї із прямого кута.

29 Чотири однойменних заряди q, розташовані в вершинах квадрата із стороною а. Визначити напруженість електричного поля на відстані 2а від центра квадрата:1) на продовженні діагоналі; 2) на прямій, що проходить через центр квадрата і є паралельною сторонам.

30 У вершинах правильного шестикутника із стороною а поміщено точкові, однакові по модулю, заряди q. Визначити напруженість і потенціал поля в центрі шестикутника за умови, що: 1) знак всіх зарядів однаковий; 2) знаки сусідніх зарядів протилежні.

31 Тонке напівкільце радіусом 20 см має заряд 0,7 нКл. Визначити напруженість електричного поля в центрі напівкільця.

32 Кільце радіусом R з тонкого дроту має заряд q. Визначити модуль напруженості електричного поля на осі кільця, як функцію відстані l до його центру. Визначити максимальне значення напруженості і відповідну їй відстань.

33Який кут з вертикаллю складе нитка, на якій висить кулька масою 25 мг, якщо її помістити в горизонтальне однорідне електричне поле з напруженістю 35 В/м, надавши їй при цьому заряд 7 мкКл?

34 Тонкий прямий стержень довжиною 2а має заряд q . Визначити модуль напруженості електричного поля як функцію відстані r від центра стержня до точки прямої: 1) перпендикулярної до стержня, що проходить через його центр, 2) співпадаючої з віссю стержня, якщо r > a.

35 В однорідному електричному полі з напруженістю 1 МВ/м, направленому під кутом 30⁰ до вертикалі, висить на нитці кулька масою 2 г і зарядом 10 нКл. Визначити силу натягу нитки.

36 Електрон рухається в напрямку однорідного електричного поля з напруженістю 120 В/м. Яку відстань пролетить електрон до зупинки, якщо його початкова швидкість 1000 км/с? За який проміжок часу буде пройдено цю відстань?

37 Поблизу Землі напруженість електричного поля 130 В/м. Чи можна використовувати напругу між точками, які знаходяться (по вертикалі) на відстані 1м одна від одної, для живлення електричної лампочки? Визначити заряд Землі і потенціал її поверхні, якщо радіус Землі 6400 км.

38 Мідна куля діаметром 1 см поміщена в масло густиною 800 кг/м³. Визначити заряд кулі, якщо в однорідному електричному полі вона виявилась завислою в маслі. Електричне поле напруженістю 36 Кл/см направлено вгору.

39 Потенціал поля має вигляд  = а(х²+у²)+bz², де а і b – додатні константи. Визначити напруженість електричного поля.

40 Визначити напруженість електричного поля, потенціал якого має вигляд: 1)  = а(х²-у²), 2)  = аху.

41 N однакових крапель ртуті однойменно заряджені до одного і того ж самого потенціалу . Яким буде потенціал, великої краплі ртуті, що утвориться в результаті злиття цих крапель?

42 Яку роботу потрібно здійснити при перенесені точкового заряду 20 нКл з нескінченності в точку, що знаходиться на відстані 1 см від поверхні кулі радіусом 1 см з поверхневою густиною заряду 10 нКл/см²?

43 При переносі точкового заряду 10 нКл з нескінченності в точку, що знаходиться на відстані 20 см від поверхні зарядженої металевої кулі, потрібно здійснити роботу 0,5 мкДж. Радіус кулі 4 см. Визначити потенціал поверхні кулі.

44 Електрон, пролітаючи в електричному полі шлях від точки А до точки В, збільшив свою швидкість з 1000 км/с до 3000 км/с. Визначити різницю потенціалів між цими точками електричного поля.

ЗАВДАННЯ: законспектувати матеріал, розглянути розв’язки задач.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспекту самостійної роботи, перевірка розв’язання задач.

ВИКЛАДАЧ – Марінець І.С.

Самостійна робота №7 (3 год)

ТЕМА: Постійний струм

МЕТА: ознайомитись з основними положеннями електронної та квантової теорій електропровідності металів; з’ясуватиприроду виникнення електричного струму та дати визначення його основним характеристикам; розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки під час опрацювання матеріалу; виховувати цілеспрямованість, терпіння, акуратність, уважність.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

Бушок Г.Ф.Курс фізики. Кн.2. / Г.Ф. Бушок, Є.Ф. Венгер. – К.: Вища школа, 2002, с. 51-65.

7 Кучерук І.М. Загальний курс фізики. У трьох томах. Т. 2. / І.М.Кучерук, І.Т Горбачук, П.П. Луцик. – К.: Техніка, 2006, с. 105-133.

ПЛАН

1. Класична електронна теорія електропровідності металів.

2. Зонна теорія електропровідності. Опір провідника у квантовій теорії.

3. Розгалуження струму. Правила Кирхгофа та їх застосування.

ЗМІСТ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Класична електронна теорія електропровідності металів.

Першу найпростішу класичну теорію електричних властивостей металів розробив німецький фізик Пауль Друде в 1900 р. Незважаючи на обмеженість теорії, вона містить окремі ідеї, які досі залишаються складовою частиною сучасних більш досконалих теорій. Друде було вже відомо, що в склад металів входить негативно заряджена частинка – електрон. Електрон відкрив у 1897 р. Дж. Дж. Томсон, директор Кавендішської лабораторії в Кембріджі на дослідах по відхиленню катодних променів у магнітному та електричному полях. Томсон показав, що катодні промені являють собою потік негативно заряджених частинок, визначив питомий заряд цих частинок, а також знайшов, що маса їх приблизно у 1837 разів менша за масу атома водню. Це було прямим і надійним відкриттям електрона. Томсон також висунув гіпотезу, що відкриті ним електрони є складовою частиною атомів.

Обґрунтовуючи власну теорію, Друде припустив, що носіями електричного струму в металах є електрони, які вважати вільними внаслідок того, що взаємне відштовхування їх врівноважується притяганням до позитивних іонів. Сукупність вільних електронів він розглядав як ідеальний газ вільних молекул. Проте, на відміну від класичного газу, де молекули розсіюються внаслідок зіткнень між собою, електрони металу розсіюються на іонах. Останні утворюють кристалічну ґратку і можуть лише коливатися біля положення рівноваги. Друде постулював, що кожний атом металу звільняє не менше одного електрона, тобто концентрація вільних електронів оцінюється як , де d – густина, M – молярна маса і  – число Авогадро. Значення для металів лежить у межах від для калію до для берилію, тобто концентрація електронів провідності знаходиться в інтервалі .

Приписавши сукупності вільних електронів властивості газу, Друде отримав можливість використовувати основні ідеї та висновки молекулярно-кінетичної теорії газів. Як і молекули газу, електрон у проміжках між зіткненнями з іонами рухається цілком вільно, пробігаючи деяку середню відстань до наступного акту розсіяння. Електрон має середню теплову енергію, еквівалентну трьом класичним ступеням вільності для поступального руху

,

а середня за модулем теплова швидкість його .

У відсутності зовнішнього електричного поля вільні електрони металу рухаються хаотично і стаціонарний струм не спостерігається. В електричному полі до теплового руху електронів долучається впорядкований (дрейфовий) рух електронів, тобто виникає електричний струм.

Зонна теорія електропровідності. Опір провідника у квантовій теорії.

Електричні властивості кристалічних твердих тіл визначаються будовою їх кристалічної ґратки і характером сил, які діють між частинками твердого тіла, тобто типом хімічного зв'язку.

В залежності від того, які частинки перебувають у вузлах кристалічної ґратки та яка природа сил взаємодії між ними, розрізняють такі основні типи кристалів: іонні, атомні, металічні та молекулярні.

У вузлах ґратки іонних кристалів розміщуються іони різних знаків, сили взаємодії між якими переважно є електростатичними. Прикладом є гратка кам'яної солі NaCl, при створенні якої натрій віддає свій єдиний валентний електрон хлорові, якому не вистачає одного електрона для заповнення валентної оболонки (рис. 1).

Рис 1 Рис. 2

Внаслідок цього обидва атоми стають іонами протилежних знаків та набувають стійких зовнішніх оболонок. Відсутність вільних носіїв заряду пояснює низьку електропровідність іонних кристалів.

У більшості випадків такі кристали є ізоляторами.

У вузлах ґратки атомних кристалів розташовані нейтральні атоми, зв'язок між якими здійснюється шляхом створення спільної пари валентних електронів (по одному електрону від кожного атома) і називається ковалентним. Такий зв'язок має місце, наприклад, між атомами в молекулі водню. При зближенні двох атомів водню траєкторії їхніх електронів перекриваються (рис. 2).

В області перекриття електрони перебувають під дією сильного притягання з боку обох ядер і починають рухатись по складним орбітам навколо обох ядер, тобто атоми виявляються зв'язаними спільною парою електронів.

При цьому виникає так звана обмінна взаємодія, вона лежить в основі ковалентного зв'язку і має квантову природу. Не зважаючи на те, що енергія зв'язку в атомних кристалах є значною, в багатьох з них можливе вивільнення електронів з ковалентних зв'язків. Під дією електричного поля вивільнені електрони стають носіями струму. Чим вища температура кристалу, тим більше виникає електронів провідності. Багато з таких кристалів (елементи з середньої групи таблиці Менделєєва, наприклад, германій та кремній і різні сполуки) є напівпровідниками.

У вузлах гратки металічних кристалів розташовані позитивні іони, між якими рухаються електрони. Вони створюють так званий електронний газ, який рівномірно заповнює простір між іонами. Цей тип гратки характерний для елементів (металів), у яких валентні електрони слабко зв'язані з ядром. При виникненні кристалічної гратки ці електрони легко відокремлюються від атомів і стають спільними для всього кристала.

Електронний газ зв'язує в міцну систему позитивно заряджені іони кристалу. Під впливом сил притягання з боку електронного газу і сил відштовхування між іонами останні розташовуються на деякій рівноважній відстані один від одного. Ця відстань відповідає мінімуму енергії в кристалі. Тіла з такою кристалічною граткою відзначаються високою електропровідністю, оскільки навіть слабке електричне поле викликає переміщення вільних електронів. При підвищені температури кристалу збільшується інтенсивність теплового коливального руху іонів, що затруднює напрямлений рух електронів в електричному полі.

У вузлах ґратки молекулярних кристалів знаходяться нейтральні молекули. Вони утримуються вандерваальсівськими силами, природа яких визначається взаємодією молекулярних диполів. За звичайних умов такі кристали електропровідністю не володіють і при підвищенні температури легко руйнуються. Молекулярну кристалічну гратку мають більшість органічних сполук.

Згідно з квантовою теорією енергія електронів в атомах квантується, тобто може приймати лише дискретні значення. Ці значення енергії відповідають енергетичним рівням. Якщо однакові атоми ізольовані один від одного, то вони мають однакові енергетичні рівні. При виникненні кристала відбувається зміна енергетичних рівнів у зв'язку із взаємодією атомів між собою. Якщо кристал складається з N атомів, то замість одного однакового для всіх атомів рівня виникає N дуже близьких за значеннями енергії рівнів, які не співпадають між собою. Так відбувається розщеплення енергетичного рівня на низку енергетичних рівнів.

Сукупність цих рівнів називається зоною енергетичних рівнів. Розщеплення енергетичних рівнів і виникнення зони енергетичних рівнів, яке має місце при зближенні атомів і виникненні кристала, здійснюється згідно з принципом Паулі, за яким на одному енергетичному рівні може перебувати не більше двох електронів з різною орієнтацією спінів.

Сукупність значень енергій, які можуть мати електрони в даному атомі (зони дозволених енергій) чергуються зі значеннями енергій, які електрони в даному атомі мати не можуть (зони заборонених енергій).

Ступінь розщеплення для різних рівнів неоднаковий. Рівні, заповнені близькими до ядра внутрішніми електронами, розщеплюються незначно, оскільки ці електрони слабко взаємодіють з електронами і ядрами інших атомів кристала. Така взаємодія є значною для валентних електронів, внаслідок чого їхні рівні розщеплюються сильніше, утворюючи так звану валентну зону. Ще помітнішим є розщеплення більш високих, ніж валентні, енергетичних рівнів, не зайнятих електронами в основному стані атома.

У кристалів різних типів ступінь заповнення валентної зони електронами різний, тому енергетичні зони розташовані по-різному, чим пояснюється різна за величиною їхня електропровідність.

При абсолютному нулі температури енергія кристала мінімальна, що відповідає заповненню електронами валентної зони, починаючи з найбільш низьких її рівнів. При підвищенні температури енергія теплового руху електронів зростає і вони стають здатними займати більш високі енергетичні рівні.

Класична теорія провідності металів грунтується на тому, що вільні електрони (електронний газ) поводять себе так, як молекули ідеального газу. Вони рухаються зі швидкістю , співударяються переважно з іонами гратки, пробігаючи між зіткненнями відстань , яка називається середньою довжиною вільного пробігу і дорівнює значенню міжатомної відстані в кристалі. На основі цих уявлень, можна отримати наступний вираз для питомої електропровідності металів:

, n- концентрація електронів, е- заряд електрона, m- маса електрона.

В цьому виразі величини n, m, е, λ- сталі, а прямопропорційна до , де Т- температура. Таким чином, за класичною теорією питома електропровідність залежить від природи металу і обернено пропорційна . Однак, досліди показують, що в широкому інтервалі температур опір металів прямопропорційний до Т.

В інтервалі середніх і високих температур опір металів збільшується при зростанні температури за лінійним законом

, де R і R₀ - опір при температурах t°С і 0° С відповідно, α- температурний коефіцієнт опору (ТКО), який визначається експериментально.

За величиною ТКО:

, тобто фізичний зміст ТКО полягає у відносній зміну кожної початкової одиниці опору при зміні температури на один градус. Вимірюється ТКО в град^-1.

За низьких температур для багатьох металів залежність R = f(T) має інший характер (рис. 3).

Тобто при певній для даного металу низькій температурі Т_к, яка називається критичною, опір падає практично до нуля. Це явище називається надпровідністю, в межах класичної теорії воно не пояснюється.

Причиною розходжень результатів класичної теорії з експериментальними фактами є те, що в цій теорії не враховуються квантові властивості електронів.

Явище надпровідності пояснюється обмінною взаємодією між електронами і має квантову природу.

Розрахунок складних кіл. Закони Кірхгофа.

Д о вузлів схеми застосовується перший закон Кірхгофа: сума струмів, що притікають до будь–якої точки розгалуження (вузлу), дорівнює сумі струмів, що відходять від неї. Якщо струми, що притікають до точки, вважати додатними, а такі, що відходять від неї, – від’ємними, то перший закон Кірхгофа можна сформулювати так: алгебраїчна сума струмів у вузловій точці дорівнює нулю – І = 0.

Згідно другого закону Кірхгофа, в усякому замкнутому контурі алгебраїчна сума ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на всіх опорах, що включені в цей контур: Е = ІR.

Розглянемо схему

Вузли схеми: A, B, C, D, F.

Вітки: AB, BC, CD, BD, CF, AD, DF, ANMF.

Контури: ABDA, BCDB, CDFC, ADFMNA.

Перший закон Кірхгофа, наприклад, для вузла А визначається рівнянням: І₇ + І₈ – І₁ = 0.

Другий закон Кірхгофа, наприклад, для контуру ADFMNA визначається рівнянням:

І₈ R₁₂ – І₇ R₄ – І₆ R₅ + І₈ R₁₃ + І₈ R₁₁ + І₈ R₃ = – E₅ + E₄ + E₃.

При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа і обході замкнутого контуру ЕРС і струми, напрямки яких співпадають з прийнятим напрямком обходу – за годинниковою стрілкою (або проти), треба вважати додатними, а ЕРС і струми, напрямки яких протилежні напрямку обходу – від’ємними.

Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку.

При розрахунку електричних кіл, які не вдається звести до одного результуючого опору шляхом заміни послідовно і паралельно з’єднаних опорів їх еквівалентними величинами доводиться вдаватись до більш складних перетворень. Зокрема, якщо в колі зустрічається замкнутий контур з трьох опорів R_AB, R_BC, R_CA, що утворюють сторони трикутника, то ці опори заміняють трьома опорами R_A, R_B, R_C, що з’єднані в одній вузловій точці О і утворюють трипроменеву зірку (  ).

При такому перетворенні опір між точками А і В, В і С та С і А повинні бути однаковими в обох видах з’єднання:

Аналогічно

При зворотному переході від зірки опорів до еквівалентного трикутника опорів () опори R_AB, R_BC, R_CA визначаються через опори R_A, R_B, R_C :

Відзначимо, що ці перетворення можуть бути застосовані тільки в тих випадках, коли в трикутнику опорів або зірці відсутні джерела енергії.

Використання наведених формул перетворення в розрахунках електричних кіл розглянемо на прикладі схеми, відомої під назвою міст Уітстона.

З адача: визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R₀ = 1 Ом; R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 25 Ом; R₄ = 12,5 Ом; R₅ = 25 Ом.

Розрахунок:

Замінимо трикутник опорів R₁, R₂, R₃  еквівалентною зіркою з променями:

 

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R_B + R₅) – I_R5 і (R_C + R₄) – I_R4:

.

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках зворотно пропорційні опорам віток) або .

З математики відома властивість пропорцій: якщо справедлива пропорція , то справедливий вираз , а в цьому випадку – . Так як I _R4 + I _R5 = І, то .

Отже , а I_R4 = І – I_R5 = 2 – 0,8 = 1,2 А.

З рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB: I_BCR₃ + I_R5R₅ – I_R4R₄ = 0, маємо:

.