Задачі для самостійного розв’язання

1 Кулька масою m=60 г коливається з періодом Т = 2 с. У початковий момент часу зміщення кульки складає х₀= 4 см і вона має енергію Е = 0,02 Дж. Записати рівняння простого гармонічного коливання кульки, закон зміни її прискорення і закон зміни повертальної сили з часом.

2 На стрижні довжиною l = 30 см закріплені два однакових тягарці: один на середині стрижня, інший – на одному з його кінців. Стрижень з вантажами коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через вільний кінець стрижня. Визначити приведену довжину L і період Т простих гармонічних коливань даного фізичного маятника. Масою стрижня знехтувати.

3 Знайти повертальну силу F у момент часу t= 1 с і повну енергію Е матеріальної точки, яка бере участь у коливаннях що відбуваються за законом х = Аcos ωt , де А= =20 cм; ω =2 π /3 с^-1. Маса матеріальної точки дорівнює m=10 г.

4 Точка здійснює прості гармонічні коливання, рівняння яких мають вигляд х= А sin ωt , де А =5 см, ω = 2 с^-1. У момент часу, коли точка мала потенціальну енергію Еп=0,1 мДж, на неї діяла повертальна сила F=5 мН. Знайти цей момент часу t.

5 Визначити частоту простих гармонічних коливань диска радіусом R = 20 см навколо горизонтальної осі, що проходить через середину радіуса диска перпендикулярно до його площини.

6 Коливання матеріальної точки відбуваються згідно з рівнянням х = Асоs ω t, де А= 8см; ω=π/6с^-1. В момент, коли повертальна сила вперше досягла значення F = 5 мН, потенціальна енергія точки стала дорівнювати Еп =100 мкДж. Знайти цей момент часу t і відповідну йому фазу .

7 До спіральної пружини підвісили тягарець, внаслідок чого пружина розтягнулася на х = 9 см. Який буде період Т коливань тягарця, якщо його дещо відтягнути вниз і потім відпустити?

8 Визначити період Т простих гармонічних коливань диска радіусом R =40 см навколо горизонтальної осі, що проходить через точку на ободі диска.

9 Визначити період Т коливань математичного маятника, якщо модуль його максимального відхилення А = 18 см і максимальна швидкість υ_max =16 см/с.

10 Матеріальна точка здійснює прості гармонічні коливання так, що в початковий момент часу зміщення становить х₀=4 см, а швидкість υ₀= 10 см/с. Визначити амплітуду А і початкову фазу φ₀ коливань, якщо їх період становить Т=2 с.

11 Математичний маятник довжиною l= 1 м встановлений в ліфті. Ліфт підіймається з прискоренням а =2,5 м/с². Визначити період Т коливань маятника.

12 Точка виконує коливання за законом х = А соs ωt , де А = 5 cм; ω = 2 с^-1. Визначити прискорення |а| точки у момент часу, коли її швидкість υ=8 см/с.

13 Тонкий обруч, повішений на цвях, вбитий горизонтально в стіну, коливається в площині, паралельній стіні. Радіус обруча дорівнює R =30 см. Обчислити період Т коливань обруча.

14 Матеріальна точка здійснює коливання за законом х = А соs (ωt + φ₀), де А=2 м. Визначити початкову фазу, якщо в момент часу t = 0 зміщення x = - м.

15 Амплітудне значення швидкості матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, υ_max= 0,1 м/с, а максимальне прискорення a_max= 1 м/с² .Визначити циклічну частоту, період та амплітуду коливань.

16 Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання з частотою ν= 1 Гц і в момент часу t = 0 проходить положення з координатою x= 0,05 м зі швидкістю υ= 0,15 м/с. Визначити амплітуду коливань.

17 Кулька масою m= 0,02 кг здійснює гармонічні коливання за законом х = А соs (4π + π/4) м. Визначити повну енергію кульки.

18 Вантаж, підвішений на пружині, коливається по вертикалі з амплітудою A= 0,08 м. Визначити жорсткість пружини, якщо максимальна кінетична енергія вантажу дорівнює 0,8 Дж.

19 Пружина має жорсткість 25 Н/м. Визначити, тіло якої маси потрібно підвісити на пружині, щоб за 60с воно здійснювало 25 коливань.

20 Математичний маятник, довжина нитки якого 1 м і радіус свинцевої кульки 0,02 м, здійснює гармонічні коливання з амплітудою 0,06 м. Визначити: швидкість кульки при її проходженні через положення рівноваги; максимальне значення повертальної сили. Густина свинцю кг/м³.

21 Два однаково напрямлені гармонічні коливання одного періоду з амплітудами А₁ = 10 см і А₂ = 6см складаються в одне коливання з амплітудою А = 14 см. Знайти різницю фаз коливань.

22 Точка бере участь у двох однаково напрямлених коливаннях: х₁ =А₁ sin ωt і х₂ = А2 cos ωt , де А₁ = 1 см; А₂ = 2 cм; ω = 1 с^-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту і початкову фазу. Знайти рівняння цього руху.

ЗАВДАННЯ: законспектувати матеріал, розглянути розв’язки задач.

ФОРМА КОНТРОЛЮ: перевірка конспекту самостійної роботи, перевірка розв’язання задач.

ВИКЛАДАЧ – Марінець І.С.

САМОСТІЙНА РОБОТА № 6 (3 год.)

ТЕМА: Електростатика

МЕТА: Поглибити знання про електричне поле та його основні характеристики. Вчити графічно зображати графічні поля. З’ясувати механізм взаємодії нерухомих електричних заряджених тіл і властивостей пов’язанихз ними полів.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

2. Бушок Г.Ф.Курс фізики. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка / Г.Ф. Бушок, Є.Ф. Венгер. – К.: Вища школа, 2002, с. 4-18.

6. Кучерук І.М. Загальний курс фізики. У трьох томах. Т. 1. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка / І.М.Кучерук, І.Т Горбачук, П.П. Луцик. – К.: Техніка, 2006, с. 14-31.

ПЛАН

1. Електричне поле, як вид матерії. Заряди поля.

2. Взаємодія заряджених тіл. Закон Кулона.

3. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції.

4. Графічне зображення електричного поля.

ЗМІСТ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Електричне поле, як вид матерії. Заряди поля.

Відповідно до сучасних уявленнях, електричні заряди не діють один на одного безпосередньо. Кожне заряджене тіло створює в навколишньому просторі електричне поле, яке чинить силову дію на інші заряджені тіла.

Головна властивість електричного поля – дія на електричні заряди з деякою силою.

Теорія близькодії, створена на основі дослідження англійського фізика М. Фарадея, пояснює взаємодію електричних зарядів тим, що навколо кожного електричного заряду існує електричне поле - особливий вид матерії, що існує незалежно від наших знань про нього і має енергію. Електричне поле неперервне в просторі і здатне діяти на інші електричні заряди.

Усяке тіло складається з нейтральних атомів і молекул. В електричному відношенні саме воно нейтральне. Якщо ж у тілі є позитивні чи негативні іони, то воно електрично-заряджене. Переконатися в цьому можна, розглянувши електричне поле навколо зарядженого тіла.

Електричне поле нерухомих зарядів називають електростатичним. Воно не змінюється з часом. Це поле створюється тільки електричними зарядами. Воно існує в просторі, що оточує ці заряди, і нерозривно з ними пов'язане. Головна властивість електричного поля - здатність діяти на внесені в нього електричні заряди з деякою силою. Тому досліджують електричні поля за допомогою пробного точкового заряду. Пробний заряд q₀ має бути малим, щоб він не спотворював помітно досліджуваного поля.

У природі існує два види електричних зарядів – позитивні і негативні. Домовились вважати позитивним заряд, що виникає, наприклад, на склі, яке натирають шовком, а негативним – на бурштині, який натирають хутром. Однойменно заряджені тіла відштовхуються одне від одного, а різ­нойменно заряджені притягуються. Знак заряду, який виникає на тілі внаслідок електризації тертям, залежить не тільки від хімічного складу цього тіла, а й від того, з яким іншим тілом воно стикається при терті.

При електризації тіл тертям завжди одночасно електризуються обидва тіла, причому одне з них дістає позитивний заряд, а друге – негативний. Позитивний заряд першого тіла за величиною завжди точно дорівнює негативному заряду другого, якщо до електризації обидва тіла не були заряджені. Численними експериментами було встановлено закон збереження електричних зарядів:

в ізольованій системі алгебраїчна сума електричних зарядів залишається незмінною. Заряди можуть лише передаватись від одного тіла даної системи до іншого або зміщуватись всередині даного тіла.

Електричні заряди можуть зникати і виникати знову, але завжди зникають або виникають два електричні заряди протилежних знаків.

В 1909 р. Р.Мілікен встановив кратність електричного заряду деякому елементарному заряду е:

, де N=1, 2, 3...

Було виявлено, що цей елементарний заряд має величину Кл.

Властивості:

1) заряд не є знаковизначеною величиною;

2) адитивність;

3) релятивістсько-інваріантний;

4) кратність:q =±Ne, де e=1,6·10^-19 Кл.

5) сталість: q

Взаємодія заряджених тіл. Закон Кулона.

Закон взаємодії електричних зарядів відкритий Шарлем Кулоном в 1785 р. за допомогою крутильних ваг.

Розглянемо два позитивних електричних заряди, відстань між якими задається вектором . Тоді на заряд 1 діє з боку заряду 2 сила:

Одночасно на заряд 2 з боку заряду 1 діє сила . В системі СІ значення коефіцієнта k приймають за , де – електрична стала. Тоді закон Кулона запишеться у вигляді:

В системі з N+1 зарядів на заряд діятиме сила:

Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції

Силовою характеристикою електростатичного поля є напруженість

Ця векторна величина дорівнює силі, яка діє з боку поля на одиничний позитивний пробний заряд. Для поля точкового заряду q напруженість

В ектор направлений по радіальним лініям від заряду q, якщо він позитивний, і до нього, якщо він негативний.

Вектор називається вектором індукції електростатичного поля. Це теж силова, векторна характеристика поля, але на відміну від напруженості, вона не залежить від властивостей середовища. Дійсно, для точкового заряду, маємо

. Діелектричні властивості середовища (ε і ε_о) в цій формулі відсутні.

Якщо поле утворене декількома зарядами, то вектор напруженості результуючого поля знаходиться по принципу суперпозиції, як векторна сума напруженостей, утворених в даній точці кожним зарядом незалежно від інших зарядів (рис.).

Ступінь зарядженості тіл, які не можна вважати точковими, характеризуються такими величинами:

лінійна густина заряду – заряд одиниці довжини

;

поверхнева густина заряду – заряд одиниці площі

;

об’ємна густина заряду – заряд одиниці об’єму

.

Графічне зображення електричного поля

Електричні поля зображають за допомогою ліній напруженості, які проводять так, щоб дотичні до цих ліній в кожній точці збігалися з напрямками вектора (рис. ).

Лінії напруженості мають початок і кінець або йдуть у нескінченність чи з нескінченності, вони напрямлені від позитив­ного заряду до негативного, тобто виходять з позитивного заряду, а входять у негативний заряд. Лінії напруженості ніколи не перетинаються. Ці лінії проводять з такою густиною, щоб кількість ліній, які пронизують одиничну площу, перпендикулярну до вектора напруженості, числово дорівнювала величині напруженості електричного поля в місці розміщення площини. Приклади графічного зображення електричних полів за допомогою ліній напруженості показано на рис.

Поле, у всіх точках якого величина і напрямок вектора напруженості незмінні, називається однорідним.

Воно утворюється між зарядженими площинами, якщо вони паралельні і нескінченно великі. Однорідне поле зображують паралельними лініями напруженості, що мають однакову густину.

Якщо поле створено системою N нерухомих зарядів, то результуюча сила, яка діє на пробний заряд зі сторони системи зарядів, дорівнює векторній сумі сил, з якими окремі заряди діють на пробний.

Напруженість поля системи точкових зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожний із зарядів системи зокрема:

,

.

Ц е твердження називають принципом незалежності дії електричних полів, або принципом суперпозиції полів.

Розглянемо декілька прикладів застосування принципу суперпозиції для розрахунку поля заряджених тіл.

Приклад 1 Розрахувати напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця радіусом R, зарядом q на відстані h від центра кільця (рис.).

Елемент dl₁ кільця, заряд якого , створює напруженість поля

Діаметрально протилежний елемент dl₂ створює напруженість dE₂. Ясно, що Х–ві проекції цих векторів попарно компенсуються, а У-ві – додаються.

. Враховуючи , що , одержуємо

П ри h =0 ( в центрі кільця) Е=0. При h → ∞ Е = 0.

Приклад 2 Розрахувати поле нескінченної зарядженої осі в точці, яка знаходиться на відстані R від неї. Лінійна густина заряду осі дорівнює τ (рис.).

Нескінченно малий елемент dℓ(точковий заряд) створює напруженіcть . Заряд цього елемента дорівнює . Відстань . Одержуємо . Знаходимо проекції цього вектора на осі координат: , . Інтегрування по всій осі зводиться до інтегрування по куту α в межах від 0 до π.

.

.

Так як Е_у = 0, вектор напруженості направлений вздовж осі ох, тобто перпендикулярно до зарядженої осі.

Приклад 3 Розрахувати поле нескінченної зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ.

Положення нескінченно малого елемента dS, заряд якого dq = σ∙dS,

з адамо полярними координатами ρ і α. В цих координатах S = ρ∙dρ∙dα. Знайдемо dE_z , яка перпендикулярна до площини. Щоб охопити всю площину, кут α повинен змінюватись від 0 до 2π, а радіус ρ – від 0 до ∞. Беремо подвійний інтеграл в цих межах

П роекція вектора напруженості на площину, перпендикулярну до осі ОZ дорівнює нулю. В цьому можна впевнитись математично, замінивши соsφ на sinφ, а можна і такими міркуваннями: на нескінченній площині завжди можна знайти елемент dS₂, симетричний dS₁ відносно перпендикуляра h до площини (рис). Ці елементи створюють однакові вектори напруженості dE₁ і dE₂, Z-ві проекції яких співпадають, а перпендикулярні проекції взаємно протилежні і тому компенсують одна одну. Отже вектор напруженості поля нескінченної зарядженої площини

перпендикулярний до неї і не залежить від положення точки, тобто однакове в усіх точках простору. Такі поля називаються однорідними.

Для спрощення розрахунку полів симетричних заряджених тіл застосовується теорема Остроградського – Гауса: потік вектора електростатичної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею. .

П отоком dФ вектора через площадку dS називається добуток вектора на величину площадки dS і на косинус кута α між вектором і нормальним до площадки dS одиничним вектором .

.

Приклади розв’язування задач

Задача 1 Протон і електрон атому водню зазнають гравітаційне і електричне притягання. Яка із взаємодій більша і в скільки разів?

Дано:

me=9,1·10-31кг mp=1,67·10-27кг =1,6·1019 Кл qp=1,6·10-19Кл G=6,67·10-11 (H·м2)/кг2 к=9·109 Н·м2/Кл2

Розв’язування

Відповідь: 25∙10³⁸.

Задача 2 Заряди 40 нКл і –10 нКл розташували на відстані 10 см один від одного. Яким треба взяти третій заряд щоб система перебувала у рівновазі? Де треба його розташувати?

Дано:

q1=40·10-9Кл q2=-10·10-9Кл R=10·10-2м

R1-? R2-? q3-?

Розв’язування

Якщо заряди q₁ і q₂ різнойменні, то заряд q₃ розташовують на прямій за тим зарядом, який менший за модулем.

,

; R₂=R+R₁

; ;

;

;

R₁=10 см, R₂=20 см

Відповідь: на відстані 10 см від меншого за модулем заряду і на відстані 20 см від більшого.

Задача 3 Однакові металеві кульки q₁=5 нКл і q₂=11 нКл знаходяться на відстані 8 мм одна від одної. Кульки доторкнули одну до одної. На яку відстань їх треба розвести, щоб сила взаємодії не змінилася?

Дано:

q1=5·10-5 Кл q2=11·10-9Кл R1=8·10-3м F1=F2

R2-?

Розв’язування

,

,

Відповідь: 8,63 мм.

Задача 4 Дві однакові металеві кульки зарядили так, що заряд однієї з них у 10 разів більший, ніж другої. Кульки доторкнули одну до одної і розвели на попередню відстань. У скільки разів (за модулем) зміниться сила їхньої взаємодії , якщо: 1) заряди однойменні; 2) різнойменні.

Дано:

q1=q q2=10q R1=R2=R

Розв’язування

1)

,

2) , ,

Відповідь: 3,025, 2,025.

Задача 5 Дві однакові металеві кульки масою по 0,25 г підвішено в одній точці на нитках довжиною 30 см. Після надання їм від’ємного заряду кульки розійшлися на відстань 20 см одна від одної. Скільки електронів було передано кулькам?

Дано:

m1=m2=m= 0,25г=0,25·10-3 кг l=30см=0,3м d=20см=0,2м q1=q2=q

N-?

Розв’язування

OX: Ncosα-mg=0,

OY: F_ел-Nsinα=0

Відповідь: 6,25∙10^-8.

Задача 6 Дві однакові металеві заряджені кульки знаходяться на відстані 10 см одна від одної. Сила відштовхування кульок 50 мкН. Після дотику та віддалення кульок на початкову відстань сила відштовхування стала рівною 120 мкН. Знайдіть заряди кульок перед дотиком.

Дано:

R=0,1 м F1=50·10-6H F2=120·10-6H

q1-? q2-?

Розв’язування
Після дотику:

,

;

Відповідь: 0,259∙10^-8Кл, 2,141∙10^-8Кл.

Задача 7 Визначити напруженість поля в точках С і Д, якщо два заряди q₁=30 нКл і q₂=-20 нКл знаходиться в точках А і В, а відстані дорівнюють: АС=5 см, СВ=4 см, ВД=3 см.

Дано:

q1=30·10-9Кл q2=-20·10-9Кл АС=5·10-2м СВ=4·10-2м ВД=3·10-2м

Ес-? Ед-?

Розв’язування

Відповідь: 22,05∙10⁴ В/м, - 18,125∙10⁴ В/м.

Задача 8 У двох вершинах А і С квадрату із стороною а=3 см розташовані різнойменні заряди q₁ і q₂, модулі яких однакові і дорівнюють 2·10^-6 Кл. Знайдіть напруженість поля у двох інших вершинах квадрату.

Дано:

a=3 м q1=2·10-6Кл q2=-2·10-6Кл

EB-? EД-?

Р озв’язування

,

Відповідь: 3∙10³ Н/Кл, 3∙10³ Н/Кл.

Задача 9 Заряди по 0,1 мкКл розташували на відстані 6 см один від одного. Визначити напруженість поля в точці, віддаленій на 5 см від кожного із зарядів.

Дано:

q1=q2=q=0,1·10-6 Кл R1=6 см = 6·10-2м R2=5 см= 5·10-2м

E-?

Розв’язування

, ,

, ,

.

Відповідь: 576∙10⁶ В/м.

Задача 10 У трьох вершинах квадрата, сторона якого становить 0,4 м, розташували однакові позитивні заряди по 0,5·10^-9 Кл. Визначити напруженість поля в четвертій вершині.

Дано:

а=0,4 м q1=q2=q3=q= =5·10-9Кл

EД-?

Розв’язування

Відповідь: 540 В/м.

Задача 11 На тонкому стержні, довжина якого l, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною =10 нКл/м. Знайти потенціал , створений розподіленим зарядом в точці А, яка розміщена на осі стержня і віддалена від ближчого кінця на відстань l.

=10 нКл/м

_________

-?

Розв’язок.

Виділимо на стержні малий елемент довжиною dx, заряд якого можна вважати точковим. Потенціал  в точці А можна визначити за формулою:

Згідно з принципом суперпозицій електричних полів, потенціал електричного поля, створеного зарядженим стержнем в точці А, знайдемо інтегруванням цього виразу:

Підставимо числові значення:

Відповідь. =62,4 В.