Приклади розв’язування задач

Задача 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань  = 4 c^-1. В момент часу t = 0 координати частинки х₀ = 25,0 см, а її швидкість υ = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

 = 4 с^-1

х₀ = 25,0 см

υ= 100,0 см/с

t = 2,40 с

___________

х – ? υ – ?

Розв’язування. Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = A cos ( t + ). (1)

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

υ = - A  sin ( t + ) . (2)

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х₀ і υ₀:

x₀ = A cos  i υ₀ = - A sin  . (3)

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

= 1 звідки А = ;

cos  = звідки  = arc cos .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм,  = arc cos .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

x = 35,5 cos (4  2,40 + /4) = - 20,2 см, υ = - 35,5  4sin (4  2,40 + /4) = 115,7 см/с.

Відповідь: х = - 20,2 см; υ = 115,7 см/с.

Задача 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см. Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

Дано:

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см

_______________________

₁ – ? ₂ – ? Т_б – ?

Розв’язування. Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами ₁ і ₂ рівняння результуючого руху має вигляд:

х = .

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

= 2,1 c^-1 i = 50,0 c^-1

Звідки ₁ = 47,9 c^-1; ₂ = 52,1 c^-1.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

T_б = , де Т_б – період биття.

Знаходимо період биття T_б = 1,49 с

Відповідь: ₁ = 47,9 с^-1; ₂ = 52,1 с^-1; Т_б = 1,49 с.

Задача 3. Задаються рівняння руху частинки х = Аsin t і y = В cos t, де А і В – амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти: а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії; б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

Дано:

х = Аsin t

y = В cos t

___________

у(х) – ? а – ?

Розв’язування. Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

sin t = , cos t = . Піднесемо до квадрата:

= sin²t; = cos² t;

Додавши ці рівняння одержимо: + = 1 – еліпс.

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

Рисунок 1

Аналізуючи рівняння умови задачі в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії:

а) при t = 0, х = 0 і у = В – початок руху ;

б) при t = /4, х = А і у = 0 – наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т. д.

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у:

υ_х = А сos t; а_х= - А ² sin t = - ² x;

υ_y = - В  sin t; a_y= - В² cos t = - ² y;

Модуль вектора дорівнює

a = ² = ² r.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

a = -² r.

Задача 4. Однорідний стрижень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стрижнем і блоками k = 0,18. Показати, що стрижень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Дано: l = 20 см k = 0,18 ________ Т – ?

Рисунок 2

Розв’язування. При зміщенні стрижня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F₁ i F₂, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

F₁ = F₂ =

де  – густина матеріалу стрижня;

S – переріз стрижня;

k – коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

F = – (F₁ -F₂) = - 2  g S k x. (1)

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

F = m a. (2)

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

ma + 2  g S k x = 0

aбо

x = 0 . (3)

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

² =

звідки

T = 2

або врахувавши, що m = lS, одержимо: T = 2 .

Підставимо числові значення:

T = 1,5 с.

Відповідь: Т = 1,5 с.

Задача 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні а_е період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду?

Дано:

l = 120 см

_________

а_e – ?

Т_min – ?

Розв’язування. Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка збігається з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення ( < 7), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

M =- mga sin , (1)

де а – відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

 – кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sin = , а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

M_z = - mga  , (2)

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

M_z = І . (3)

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

I + mga  = 0.

Звідки:  = 0. (4)

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

(5)

де І – момент інерції стрижня відносно осі обертання;

а – відстань від точки підвісу до центра мас.

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера згідно з якою:

I = I₀ + m a²,

де І₀ = ml² – момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l² + ma² . (6)

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

T = 2 . (7)

Для визначення екстремальної відстані а_е від центра мас до точки підвісу, похідну за а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0 , .

Звідки

2 a² - - a² = 0;

a_e =  . (8)

a_e =  0,34 м.

Величину а_е з (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

T_min = 2 = 1,67 c.

Відповідь: а_е = 34 см; Т_min = 1,67 c.

Задача 6 Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше ₀ =1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.

Дано:

l = 0,85 м

υ = 340 м/с

₀ = 1250 Гц

____________

₁ – ? ₂ – ? ...

Розв’язування. В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.

а) у випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число /4, тобто l = (2k +1) /4, де k = 0, 1, 2, ...;

 – довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань  = υ/.

Тому

l = (2k + 1) , звідки  = .

Знайдемо ці частоти

k = 0; ₁ = = 100 Гц.

k = 1; ₂ = = 300 Гц.

k = 2; ₃ = = 500 Гц.

k = 3; ₄ = = 700 Гц.

k = 4; ₅ = = 900 Гц.

k = 5; ₆ = = 1100 Гц.

Наступна частота буде більша за ₆;

б) у випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, треба, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто

l = k , де k = 1, 2, 3, .З урахуванням того, що  = , маємо

l = k , звідки  = .

Знайдемо ці частоти

k = 1; ₁ = = 200 Гц. k = 2 ; ₂ = = 400 Гц.

k = 3; ₃ = = 600 Гц. k = 4 ; ₄ = = 800 Гц.

k = 5; ₅ = = 1000 Гц. k = 6 ; ₆ = = 1200 Гц.

Задача 7 На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u₁ = 30 м/c і u₂ = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою ₁ = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.

Дано:

u₁ = 30 м/с

u₂ = 20 м/с

₀ = 600 Гц

c = 340 м/с

____________

– ? – ?

Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера:

а) до зустрічі

 600 = 696 Гц;

б) після зустрічі

 600 = 519 Гц.

Відповідь: = 696 Гц; = 519 Гц.

Задача 8 Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м². Яка середня густина енергії на цій відстані?

Дано:

r = 25 м

R = 20 мВт/м²

_____________

N – ? – ?

Розв’язування. Відомо, що інтенсивність або густина потоку енергії визначається за формулою

R = ,

де W – повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;

S – площа поверхні, через яку здійснюється перенесення енергії;

t – час випромінювання.

Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати

N = або N = R S.

Підставимо числові значення

N = 20  10^-3  4  3,14  625 = 157 Вт.

Середня об’ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули

R = звідки = ,

де – швидкість звуку в повітрі, яка для норальних умов дорівнює 340 м/с.

Тому

5,88  10^-5 Дж/м³.

Відповідь: 157 Вт; 5,8510^-5 Дж/м³.