17. Волновое уравнение для электромагнитного поля

Из теории Максвелла следует, что образование переменного во времени электрического поля всегда вызывает возникновение вихревого магнитного поля и, наоборот, переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Эти поля неразрывно связаны, а их совокупность условились называть единым электромагнитным полем. Векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля для однородной и изотропной среды вдали от заряда и токов удовлетворяют волновым уравнениям

, , (3.13)

где – оператор Лапласа, _- фазовая скорость.

Функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля могут действительно существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в веществе определяется выражением

, (3.14)

где . В вакууме , а , т.е. скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы , напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны, а каждый из них перпендикулярен направлению распространения волны, т.е. вектору , причем векторы, , , образуют правовинтовую систему. Из уравнения Максвелла следует, что мгновенные значения E и H в любой точке связаны соотношением

, (3.15)

т.е. колебания электрического и магнитного векторов происходят в одной фазе, следовательно, E и H одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в ноль. От уравнений (5.1) можно перейти к уравнениям

, (3.16)

где соответственно индексы у и z при Е и H подчеркивают , что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z. Уравнениям (3.16) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны, описываемые уравнениями

(3.17)

где Е₀ и Н₀ – амплитудные значения полей; ω – циклическая частота колебаний; – волновое число; – начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

18. Энергия электромагнитного поля. Плотность энергии эм поля. Плотность потока энергии эм поля. Вектор Умова-Пойтинга.

Электромагнитные волны переносят энергию из одной точки пространства в другую за конечное время из-за конечности скорости распространения электромагнитной волны, равной, скорости света в той среде, где она распространяется.

Энергия W электромагнитной волны внутри некоторого объёма V определяется плотностью энергии w электромагнитного поля волны в соответствии с выражением:

(1)

Рассмотрим определение плотности энергии электромагнитной волны.

Пусть среда, в которой распространяется электромагнитная волна, не является ферромагнетиком или сегнетоэлектриком, неподвижна и не обладает проводимостью (σ=0). В этом случае можно считать равными нулю токи проводимости, поскольку в соответствии с законом Ома эти токи пропорциональны проводимости: . Вследствие этого нет расхода части энергии электромагнитной волны на увеличение внутренней энергии среды распространения волны из-за выделения Джоулева тепла.

В частном случае однородных сред распространения в соответствии с материальными уравнениями и объёмная плотность энергии электромагнитной волны может быть рассчитана по формуле

(2)

Или в другом виде

(3)

Исходя из этих выражений, получим для объёмной плотности энергии плоской гармонической волны:

(4)

Где w_E - объёмная плотность энергии электрического поля, равная

(5)

w_H - объёмная плотность энергии магнитного поля , равная

(6)

Используя соотношения между амплитудами и фазами векторов напряжённости электрического и магнитного полей плоской гармонической электромагнитной волны, получаем, что (7)

В этом случае

(8)

Отсюда следует вывод, что энергия электромагнитной волны делится поровну между её электрической и магнитной составляющими.

Поскольку скорость распространения электромагнитной волны, из (8) следует, что произведение плотности её энергии на скорость

(9)

определяет физическую величину, называемую плотностью потока энергии S, переносимой плоской электромагнитной волной.

Если известна плотность потока энергии S электромагнитной волны, то из (9) можно найти плотность энергии

(10)

Плотность потока энергии S на самом деле, является векторной величиной, величина которой определяется мгновенным значением плотности энергии ,а направление - направлением распространения волны.

Вектор плотности потока электромагнитной энергии. Теорема Умова-Пойнтинга.

Рассмотрим закон сохранения энергии при распространении электромагнитных волн. Преобразуем систему уравнений Максвелла для чего первое уравнение умножим на E, а второе на H и после этого вычтем из первого преобразованного уравнения второе. В результате получим:

Заметим, что

в соответствии с (8) определяет скорость изменения плотности энергии электромагнитной волны w.

Если использовать векторное тождество

(11)

и ввести вектор

(12)

называемый вектором Пойтинга, получаем уравнение, представляющее собой не что иное как баланс энергии, переносимой электромагнитной волной

(13)

Рассмотрим физический смысл вектора Пойнтинга, исходя из аналогии уравнению непрерывности тока

(14)

в котором ρ - плотность электрического заряда, а j - плотность тока.

Формальная аналогия уравнений (13) и (14) приводит к представлению, что энергия течет подобно жидкости, электрическому току, причем вектор Пойтинга играет роль вектора плотности потока энергии. Иными словами, модуль вектора S равен энергии, переносимой электромагнитным полем за единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению распространения поля, указываемому направлением вектора S.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим интегральную форму (13). После интегрирования этого соотношения по объёму и применения теоремы Остроградского-Гаусса получается теорема Умова - Пойнтинга:

(15)

где V - произвольный объём среды распространения электромагнитных волн, ограниченный некоторой поверхностью F; - внешняя нормаль к поверхности F (рис.1.); w - плотность энергии электромагнитного поля; S_N - проекция вектора Пойтинга на направление нормали к поверхности F.

Рис. 1.

Соотношение (15) является одной из форм закона сохранения энергии, связанной с переносом излучения и называется теоремой Умова- Пойнтинга. Правая часть этого выражения представляет собой скорость изменения энергии в объёме распространения электромагнитного поля, а левая часть этого выражения оценивает поток энергии через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объём. Иными словами, изменение энергии внутри объёма V происходит за счет притока/оттока электромагнитной энергии через поверхность F, ограничивающей объём.