60.Временное и стационарное уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера — основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее динамику частиц. Предложено Э. Шредингером в 1926 г. Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p_x,p_y,p_z). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В кван­то­вой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(x,y,z,t). Т. к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции

W ~ |ψ(x,y,z,t)|².

    Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где ψ(x,y,z,t) − волновая функция,   − оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).      В нерелятивистском случае

где m − масса частицы,   − оператор импульса,  (x,y,z,t) − оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.     В стационарном состоянии

Ψ (x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e^-iEt/ћ.

Так как вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна  |Ψ(x, y, z, t )|² , то в данном случае она ~ |ψ (x, y, z)|², т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, т.к. выражается через квадраты модулей волновых функций.     Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенцииальная энергия частицы явным образом не зависит от времени, имеет вид

ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z).

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.     Одна из специфических особенностей квантовых систем состоит в том, что энергетические спектры частиц, находящихся в ограниченном объеме пространства дискретны

61) Частица в одномерной прямоугольной яме.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

Где - ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна

Уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения за пределами «ямы» равна нулю. На границах ямы непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению

или , где

Общее решение дифференциального уравнения