55. Линейный спектр атома водорода. Обобщенная формула Бальмера

Источником формирования подтасовочной и алогичной теории Бора явился простейший из атомов - атом водорода, параметры которого к моменту формирования Нильсом Бором своей модели уже были хорошо изучены экспериментально, и эмпирические формулы, описывающие различные параметры атома водорода уже были получены И. Бальмером, И. Ридбергом, М. Планком, Ф. фон Ленардом и др.. Он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в излучении атома водорода в видимой области (так называемый линейчатый спектр) и закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:

Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ... . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ... . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее численное значение R = 3,29·10¹⁵ Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались непонятными. Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии E_n, а также нарушали законы электромагнетизма Максвелла и постулат СТО о конечности скорости света, на что последователи "копенгагенсокй школы" просто не обращали внимания. Правило квантования, приводящее к правильным, согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, было угадано Бором. Бор предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде:

58. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

 В.Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью харак­теризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:                  ,  , ,            (2.1)

где x, у, z – неопределенности координат частицы, а , ,  - неопределенности компонент импульса. Произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h. То есть, чем точнее мы знаем координату, тем менее определена проекция импульса и наоборот. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой, наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля  электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем из-за незначительной интенсивности по сравнению с главным максимумом).

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса р_х=0, так что =0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направление оси Х определяется  с точностью до ширины щели, т.е. с точностью х. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2 ( – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси Y, которая, как следует из рис.2.1 и формулы (1.2), равна         .                    (2.2)

Ограничимся рассмотрением электронов, попадающих на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу , удовлетворяющему условию

,                          (2.3)

где х–ширина щели, а  – длина волны де Бройля. Из формул (2.2) и (2.3) получим                         ,                        

где учтено, что для некоторой незначительной части электронов, попадающих за пределы главного максимума, . Следовательно, получаем выражение    ,  то есть соотношение неопределенностей (2.1).

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Оно является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам и  позво­ляет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической меха­ники к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (2.1) в виде                  

                                    (2.4)

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

                            (4.5)

где Е – неопределенность энергии некоторого состояния системы, t – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, систе­ма, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии Е=h/t возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (4.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность  =Е /h, т.е. линии спектра должны характеризо­ваться частотой, равной ±Е /h. Опыт действительно показывает, что все спектраль­ные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.