2. Решение задач на перевод чисел из одной системы счисления в другую

Основные понятия темы

Цифра – это символ, используемый в записи числа.

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – алфавит десятичной позиционной системы счисления

Системы счисления: непозиционные системы счисления, позиционные системы счисления.

Любое десятичное число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени десятки. Такое представление называется развернутой формой записи числа.

155255₁₀ = 1 ·10⁵ + 5 ·10⁴ + 5 ·10³ + 2 ·10² + 5 ·10¹ + 5 ·10⁰

2534,65₁₀ = 2 ·10³ + 5 ·10² + 3 ·10¹ + 4 ·10⁰ + 6 ·10^-1 + 5 ·10^-2

Эти примеры показывают, что в развернутой форме показатель степени десяти зависит от позиции соответствующей цифры в записи числа. Позиция цифры в записи числа называется разрядом числа. Цифра в разряде единиц умножается на 10⁰ = 1; цифра в разряде десятков умножается на 10¹ и т.д. Дробные разряды умножаются на отрицательные степени десяти: 10^-1, 10^-2, 10^-3 и т.д.

Степень десятки равна номеру соответствующего разряда в числе.

Формула представления числа

Х_b = a_n? · b^п + … + a₀ · b⁰ + a_-1 · b^-1 + ...

Число можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы. На этом принципе основан перевод чисел из любой СС в десятичную СС.

111101₂ = 1 ·2⁵ + 1 ·2⁴ + 1 ·2³ + 1 ·2² + 0 ·2¹ + 1 ·2⁰ = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 61₁₀

3D₁₆ = 3 ·16¹ + 13 ·16⁰ = 48 + 13 =61₁₀

II. Перевод в десятичную сс

Данное десятичное число делится с остатком на основание системы. Полученный остаток – это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком на основание системы и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное – старшая цифра искомого числа.

Перевод дробного десятичного числа в другую систему счисления производится путем последовательных умножений на основание новой системы с выделением цифр целой части произведений в качестве искомых.

Вертикальная черта отделяет целые части от дробных частей. Подчеркиванием отмечены искомые значения цифры дробного числа. Умножение повторяется до тех пор, пока в дробной части очередного произведения не получится ноль или не будет обнаружен период повторяющихся цифр.

Вариант 1

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 949; б) 994,125; в) 523,25; г) 203,82.

2. Переведите числа в десятичную систему счисления.

а) 111000111₂; б) 1001100101,1001₂; в) 1001001,011₂; г) 335,7₈; 3. Выполните сложение чисел.

а) 1110101010₂+10111001₂; б) 111101110,1011₂+1111011110,1₂; 4. Выполните вычитание чисел.

а) 1000000100₂-101010001₂; б) 1101000000,01₂-1001011010,011₂; 5. Выполните умножение чисел.

а) 1001011₂*1010110₂;

Вариант 2

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 563; б) 264; в) 53,125; г) 286,16.

2. Переведите числа в десятичную систему счисления.

а) 1100010010₂; б) 10011011₂; в) 10110111,01₂;

г) 14C,A₁₆. 3. Выполните сложение чисел.

а) 10111111₂+110010000₂; б) 110010100₂+1011100001₂; 4. Выполните вычитание чисел.

а) 1000001001₂-111110100₂; б) 1111000101₂-1100110101₂; 5. Выполните умножение чисел.

а) 111101₂*1010111₂;

Вариант 3

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 279; б) 281; в) 800,3125; г) 208,92.

2. Переведите числа в десятичную систему счисления.

а) 1100111001₂; б) 10011101₂; в) 1111011,001₂; г) 1601,56₈; 3. Выполните сложение чисел.

а) 1000100001₂+1011100110₂; б) 1101110011₂+111000101₂; 4. Выполните вычитание чисел.

а) 11110010₂-10101001₂; б) 1101001010,1₂-1011101001,11011₂;

5. Выполните умножение чисел.

а) 1001001₂*100010₂;

Вариант 4

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 737; б) 92; в) 934,25; г) 100,94.

2. Переведите числа в десятичную систему счисления.

а) 1000100₂; б) 110000100,001₂; в) 1001011111,00011₂; г) 1601,56₈;

3. Выполните сложение чисел.

а) 11110100₂+110100001₂; б) 1101110₂+101001000₂; 4. Выполните вычитание чисел.

а) 1000010101₂-100101000₂; б) 111111011,101₂-100000010,01₂; 5. Выполните умножение чисел.

а) 1001000₂*1010011₂;

Вариант 5

1. Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 763; б) 234,25; в) 413,5625; г) 841,375; 2.Переведите числа в десятичную систему счисления.

а) 100011011₂; б) 1111000001,01₂; в) 208,92.

г) 1601,56₈;

3.Выполните сложение чисел.

а) 10111010₂+10010100₂; б) 1000000101,0101₂+1010000110,01₂; 4. Выполните вычитание чисел.

а) 1010111101₂-111000010₂;

б) 1100110101,1₂-1011100011,01₂;

5. Выполните умножение чисел.

а) 100101₂*1010111₂;

Тема. Принципы обработки информации компьютером