Потенциальная энергия и консервативные силы

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Работа консервативных сил не зависит от траектории и по любому замкнутому пути равна нулю. Изменение потенциальной энергии, равное по величине работе, тоже не будет зависеть от траектории и по любому замкнутому пути будет равно нулю. Следовательно, запас потенциальной энергии, как возможной работы консервативных сил, определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.

Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «минус» (работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).

Потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией осуществляется по следующей зависимости

Для консервативных сил

или в векторном виде .

- градиент скаляра П ( , , - единичные векторы координатных осей).

Потенциальная энергия тела массой на высоте вычисляется по формуле .

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины):

Работа силы при деформации пружины идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Элементарная работа, совершаемая силой при бесконечно малой деформации ,

Полная работа , где – коэффициент упругости (для пружины – жесткость); - проекция силы упругости на ось Х направлена в сторону, противоположную деформации . По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена. Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля.

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения механической энергии

Пусть дана система материальных точек массами , движущихся со скоростями .

Запишем второй закон Ньютона для каждой из материальных точек:

Где - равнодействующие внутренних консервативных сил, приложенных к каждой из этих точек;

- равнодействующие внешних сил, которые считаются консервативными;

- равнодействующие внешних неконсервативных сил, приложенных к каждой из материальных точек.

Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил, действующих на систему.

Закон сохранения механической энергии имеет вид .

В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения энергии – следствие однородности времени.

Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависит от того, когда тело начало падать.

Закон сохранения и превращения энергии

Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Этот закон – фундаментальный закон природы, он справедлив для систем как макроскопических, так и микроскопических тел.

Механика твердого тела

Момент инерции. Кинетическая энергия вращения

Момент инерции тела относительно неподвижной оси

равен сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины и являются функциями точки (например, декартовых координат ).

- плотность тела в данной точке; - масса малого элемента тела объемом , отстоящего от оси вращения на расстоянии .

Моменты инерции однородных тел

Тело	Момент инерции
Полый тонко-стенный цилиндр радиусом R
Сплошной цилиндр или диск радиусом R
Прямой тонкий однородный стержень длиной	Ось проходит через его середину перпендикулярно стержню
Прямой тонкий стержень длиной	Ось проходит через его конец перпендикулярно стержню
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара