Задание 5

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а = 0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.

y = 112, 111, 112, 114, 115, 113, 115, 117, 115, 113.

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровня ряда, а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде.

Один из методов, служащих для выявления аномальных уровней, называется метод Ирвина.

Используется следующая формула:

Расчётные значения 2 3 и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина а , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение yt считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости

А = 0, 05 , то есть с 5% ошибкой, приведены в таблице:

n	2	3	10	20	30	50	100
a	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

Расчётные значенияt в зависимости от t = 1,2,…10 представлены в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	0,55	0,55	1,09	0,55	1,09	1,09	1,09	1,09	1,09

Таким образом, для ряда 112, 111, 112, 114, 115, 113, 115, 117, 115, 113, при сравнении значений, аномальных уровней не обнаруживаем , т.е. .

Существуют несколько основных методов механического сглаживания временных рядов.

Один из основных- метод сглаживания простой скользящей средней. Для этого определяется интервал сглаживания, он задан – 3. Если необходимо сгладить беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить мелкие колебания, то интервал сглаживания уменьшают. Интервалы сглаживания рекомендуется брать нечётными.

Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:

Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:

Для первых m уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая, это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д.Этот метод применяется лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию. Первые и последние ряды уровней ряда теряются (не сглаживаются). Количество рядов восемь ( n – m +1)

t		Метод простой скользящей средней,
1	112	--
2	111	--
3	112	111,7
4	114	112,3
5	115	113,7
6	113	114
7	115	114,3
8	117	115
9	115	115,7
10	113	115

Решение по методу экспоненциального сглаживания.

Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определённым весом, причём вес уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение. Экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле: St = a yt + (1 – a)S t-1

Начальный параметр S0 равен среднему арифметическому первых трёх членов, т. е

( 112 + 111+ 112): 3 = 111,66

Дальнейшее сглаживание экспоненциальным методом , а=0,1 – параметр сглаживания:

t		Экспоненциальный метод,
1	112	111,73
2	111	111,66
3	112	111,69
4	114	111,92
5	115	112,23
6	113	112,31
7	115	112,58
8	117	113,02
9	115	113,22
10	113	113,2

Представим результаты графически:

На графике представлены исходный ряд (1) и результаты сглаживания методом простой арифметической средней(2) и экспоненциальным методом (3)

Ниже в таблице приведены исходный ряд данных yt и сглаженные двумя способами уровни исходного ряда. При этом при сглаживании при помощи метода простой скользящей средней использовался интервал сглаживания m = 3.

При сглаживании экспоненциальным методом был доведён параметр сглаживания а = 0,1

Соответственно, числовая последовательность весов имела вид:

t	yt	методом простой скользящей средней	_ методом y экспоненциального сглаживания
1	112		100,52
2	111	111,66	91,52
3	112	112,33	84,41
4	114	113,66	78,92
5	115	114	74,63
6	113	114,33	71,00
7	115	115	68,30
8	117	115,66	66,34
9	115	115	64,57
10	113		62,96

Чтобы правильно подобрать лучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых.

в экономике часто используется полиномиальная кривая роста, как кривая с полиномом первой степени.

Параметр a1 называют линейным приростом. Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если посчитать первые приросты по формуле

ut = yt – yt-1, t = 2,3,…,n, то они будут постоянной величиной и равны а 1.

Значения прироста для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Полиномные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня. Исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий: