Задание 4

Для трёхотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции.

Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами ( с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно).

Заполнить схему межотраслевого баланса.

0,0 0,2 0,1 240

А = 0,5 0,1 0,2 ; Y = 160

0,2 0,0 0,1 190

Решение:

Коэффициенты полных материальных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в стоимость производства не прямо, а через другие ( промежуточные) средства производства.

Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно матрица А в целом может быть неотрицательной.

Так вопрос воспроизводства нельзя было бы осуществить, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то, очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы .

Вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и является неотрицательным.

Чтобы понять, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный продукт, нужно иметь понятие о продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения – вектор , все элементы которого неотрицательны.

Матрица называется матрицей полных затрат.

2.Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. В этом случае используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются приближенными, что является недостатком второго способа.

Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

0,0 0,2 0,1 0,0 0,2 0,1 0,12 0,02 0,05

А(1)= А2 = 0,5 0,1 0,2 * 0,5 0,1 0,2 = 0,09 0,11 0,09

0,2 0,0 0,1 0,2 0,0 0,1 0,02 0,04 0,03

0,0 0,2 0,1 0,12 0,02 0,05 0,02 0,26 0,183

А(2)= АА1 = 0,5 0,1 0,2 * 0,09 0,11 0,09 = 0,073 0,029 0,04

0,2 0,0 0,1 0,02 0,04 0,03 0,026 0,008 0,013

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

1,14 0,48 0,333

В= Е+А+А2 +А3 = 0,663 1,239 0,33

0,246 0,048 1,143

1.Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц( первый способ)

Достаточно установить наличие положительного решения системы хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему с использованием единичной матрицы в виде

Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения

.

А) находим матрицу (Е-А):

1 0 0 0,0 0,2 0,1 1,0 -0,2 -0,1

(Е-А) = 0 1 0 - 0,5 0,1 0,2 = -0,5 0,9 -0,2

0 0 1 0,2 0,0 0,1 -0,2 - 0,0 0,9

Б) вычислим определитель этой матрицы по формуле:

1,0 -0,2 -0,1

Е- А = -0,5 0,9 -0,2 = 0,738

-0,2 0,0 0,9

В) транспортируем матрицу (Е-А):

1 1,0 -0,5 -0,2

( Е-А) = -0,2 0,9 0,0

-0,1 -0,2 0,9

Г) находим алгебраические дополнения для элемента матрицы ( Е-А)1

А11 = (-1)2 0,9 -0,2 = 0, 41 А12 = (-1)3 -0,2 0,0 = 0,18

-0,2 0,9 -0,1 0,9

А13 = (-1)4 0,0 0,9 = 0, 09 А21 = (-1)3 -0,5 -0,2 = 0,49

-0,1 -0,2 -0,2 0,9

А22 = (-1)4 1,0 -0,2 = 0,88 А23 = (-1)5 1,0 -0,5 = 0,25

-0,1 0,9 -0,1 -0,2

А31 = (-1)4 -0,5 -0,2 = 0, 18 А32 = (-1)5 1,0 -0,2 = 0,04

0,9 0,0 -0,2 0,0

А33 = (-1)6 1,0 -0,5 = 0,8

-0,2 0,9

Таким образом, присоединённая к матрице (Е-А) имеет вид:

0,41 0,18 0,09

(Е-А) = 0,49 0,88 0,25

0,18 0,04 0,8

Д) используя формулу находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

0,555 0,243 0,121

В = (Е- А) -1 = 0,663 1,192 0,338

0,243 0,054 1,084

Найдём величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х), используя формулу Х=ВY

0,555 0,243 0,121 240 195,07

Х = ВY = 0,663 1,192 0,338 * 160 = 414,06

0,243 0,054 1,084 190 272,92

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы xij = aij Xj.

Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину

Х1= 195,07; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2 = 414,06;

Элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3 = 272,92.

Составляющие третьего квадранта ( условно чистая продукция) находятся с учётом формулы как разность между объёмами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвёртый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

Таблица. Схема межотраслевого баланса.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	0,0 97,54 39,01	82,81 41,41 0,0	27,29 54,58 27,29	240,0 160,0 190,0	195,07 414,06 272,92
Условно чистая продукция	58,52	289,84	163,76	590,0
Валовая продукция	195,07	414,06	272,92		882,05

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

В случае, когда известен вектор конечного потребления , уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.