3. Класичні фрактали

3.1. Самоподоба.

Розділимо відрізок прямої на N рівних частин. Тоді кожну частину можна вважати копією всього відрізання, зменшеного в 1/r разів. Вочевидь, N і r зв’язані відношенням Nr = 1 Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів (з площею, в 1/r2 рази менше площі початкового), то співвідношення запишеться як Nr2 = 1. Відповідно, загальна формула співвідношення запишеться у вигляді: Nr^d = 1. (2.1) Безліч, побудована вище, володіє цілою розмірністю. Задамося питанням, чи можлива така побудова, при якій показник d в рівності (2.1) НЕ є цілим, тобто таке, що при розбитті вихідної безлічі на N підмножин, що не перетинаються, отриманих масштабуванням оригінала з коефіцієнтом r, значення d не виражатиметься цілим числом. Відповідь — рішуче так! Така безліч називається самоподобним фракталом. Величину d називають фрактальною (дробом) розмірністю або розмірністю подібності. Явне вираження для d через N і r знаходиться логарифмуванням обох частин:                       

    _logN

                         d = ——— (2.2)

                            log 1/r

Логарифм можна отримати по будь-якій основі,відмінній від одиниці, наприклад по основі 10 або по основі е ~ 2,7183.

3. 2. Сніжинка Коха.

Кордон сніжинки, придуманою Гельгом фон Кохом в 1904 році описується кривий, складеною їх трьох однакових фракталів розмірності d ~ 1,2618.

Кожна третина сніжинки будується інтегровно, починаючи з однієї із сторін рівностороннього трикутника. Приберемо середню третину і додамо два нові відрізання такої ж довжини, як показано на мал. 2.2.2. Назвемо отриману безліч K1 . Повторимо дану процедуру багато разів, на кожному кроці замінюючи середню третину двома новими відрізками. Позначимо через Kn фігуру, отриману після n-го кроку.

Інтуїтивно ясно, що послідовність кривих Kn при n прагнучому до нескінченності сходиться до деякої граничної кривої К.

Якщо узяти копію, зменшену в три рази (r = 1/3), то всю безліч можна скласти з N = 4 таких копій. Отже, відношення самоподібна (2.1) виконується при вказаних N і r, а розмірність фрактала буде:

d = log(4) /log(3)~ 1,2618

Ще одна важлива властивість, якою володіє кордон сніжинки Коха — її безконечна довжина. Це може здатися дивним, тому що ми звиклися мати справу з кривими з курсу математичного аналізу. Зазвичай гладкі або хоч би кусочно-гладкі криві завжди мають кінцеву довжину (у чому можна переконатися інтеграцією). Мандельброт в зв’язку з цим опублікував ряд захоплюючих робіт, в яких досліджується питання про вимір довжини берегової лінії Великобританії. Як модель він використовував фрактальну криву, що нагадує кордон сніжинки за тим виключенням, що в неї введений елемент випадковості, що враховує випадковість в природі. В результаті виявилось, що крива, що описує берегову лінію, має безконечну довжину.

3. 3. Килим Серпінського.

Ще один приклад простого самоподібного фрактала — килим Серпінського, придуманого польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Сам термін килим (gasket) належить Мандельброту. У способі побудови, наступному нижче, ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні під області. Пізніше ми розглянемо і інші способи, зокрема з використанням L-систем, а також на основі інтегрованих функцій.

Хай початкова безліч S0 — рівносторонній трикутник разом з областю, яку він замикає. Розіб’ємо S0 на чотири менші трикутні області, з’єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо внутрішність маленької центральної трикутної області. Назвемо безліч S1, що залишилася. Потім повторюваний процес для кожного з трьох маленьких трикутників, що залишилися, і отримаємо наступне наближення S2. Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладеної безлічі Sn, чиє пересічення утворює килим S.

З побудови видно, що весь килим є об’єднанням N = 3 істотно не пересічних зменшених в два рази копій; коефіцієнт подібності r = ? (як по горизонталі, так і по вертикалі). Отже, S – самоподібний фрактал з розмірністю:

d = log(3) /log(2)~ 1,5850.

Вочевидь, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, в точності дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули ? частина площі. На наступному кроці ми викинули три трикутники, причому площа кожного рівна ? 2 площі початкового. Міркуючи таким чином, ми переконуємося, що повна доля викинутої площі склала:

1/4 + 3_*(1/4²) + 3²_*(1/4³) + . + 3n-1*(1/4n)+ . . Ця сума дорівнює 1 (доказ в [1]). Отже, ми можемо стверджувати, що безліч S, що залишилася, тобто килим, має площу міри нуль. Це виділяє безліч S в розряд «досконалого», в тому сенсі, що воно розбиває своє доповнення на безконечне число трикутних областей, володіючи при цьому нульовою товщиною.

ВИСНОВОК.

Даний реферат є введенням в світ фракталів. Ми розглянули лише найменшу частину того, які бувають фрактали, на основі яких принципів вони будуються. Напевно, складно знайти людей, яких би не зачаровувало споглядання фрактальної графіки, в її таємничих елементах комусь може представлятися нічне полум’я вогнища, комусь – довгі батуги водоростей, що колишуться, в товщі води, комусь — ціле таїнство Всесвіту. Але так чи інакше фрактальна графіка однозначно притягує наші погляди, а програмні пакети для її створення можуть стати тією сходинкою, яка дозволить наблизитися до справжньої фрактальної творчості, тим більше що всі вони порівняно прості в освоєнні.

На додаток хочеться відзначити вживання фракталів в комп’ютерних технологіях, окрім просто побудови красивих зображень на екрані комп’ютера. Фрактали в комп’ютерних технологіях застосовуються в наступних областях:

1. Стискування зображень і інформації

2. Заховання інформації на зображенні, в звуці.

3. Шифрування даних за допомогою фрактальних алгоритмів

4. Створення фрактальної музики

5. Моделювання систем

Фрактальні зображення застосовуються в самих різних сферах, починаючи від створення звичайних текстур і фонових зображень і кінчаючи фантастичними ландшафтами для комп’ютерних ігор або книжкових ілюстрацій. Створюються фрактальні зображення шляхом математичних розрахунків. Базовим елементом фрактальної графіки є сама математична формула — це означає, що жодних об’єктів в пам’яті комп’ютера не зберігаються, і зображення будується виключно на основі рівнянь.

Таїнство фрактального зображення не криється лише в одній вдалій формулі. Не менш важливі і інші аспекти. Наприклад, колірне налаштування, фільтри трансформації і ін.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Фрактали і хаос в динамічних системах. Основи теорії. Москва: Маркет поста, 2000. – 352 с.

2. Програма FractInt © 1990 Soup Group Company.

3. James Gleick, Chaos: Making а New Science, Viking, New York, 1987.

4. Краса математичних поверхонь. – М.: Куб, 2005.

5. Леонтьев В.П. Новітня енциклопедія Інтернет. – М.: ОЛМА-ПРЕСС,

2003.

6. Шляхтіна С. В світі фрактальної графіки. – СПб., Комп’ютер Price,

2005.