9.4. Переходные процессы в rl-цепи

Пусть в момент времени t = 0 последовательная RL-цепь подключается к источнику напряжения с ЭДС e(t) (рис. 9.3). Запишем дифференциальное уравнение цепи для времени t ≥ 0

.

Характеристическое уравнение:

R + pL = 0.

Корень характеристического уравнения

.

Тогда постоянная времени RL-цепи

Пусть e(t) = E = const, т. е. рассмотрим переходные процессы в последовательной RL-цепи при ее подключении к источнику постоянного напряжения. В соответствии с полученной нами формулой отклика цепи первого порядка

.

Но , , i(0) = 0. Тогда

.

Напряжение на сопротивлении R

.

Напряжение на индуктивности L

.

Временные диаграммы переходных процессов приведены на рис. 9.4.

Рассмотрим второй случай. Пусть в некоторый момент времени, который примем за нулевой, переведем ключ из положения 2 в положение 1 (рис. 9.3). При этом ток в цепи исчезнет не мгновенно, а будет некоторое время поддерживаться за счет энергии, запасенной в индуктивности. В соответствии с первым законом коммутации:

.

По мере того, как энергия, запасенная в индуктивности, будет рассеиваться, превращаясь на сопротивлении R в тепло, ток в RL-цепи будет стремиться к нулю, т. е. i_пр = 0. Соответственно, i_пр(0) = 0. Тогда

.

Напряжение на сопротивлении R

.

Напряжение на индуктивности L

.

Временные диаграммы переходных процессов приведены на рис. 9.5.

9.5. Переходные процессы в rc-цепи

Пусть в момент времени t = 0 последовательная RC-цепь подключается к источнику напряжения с ЭДС e(t) (рис. 9.6). Согласно второму закону Кирхгофа при t ≥ 0

Ri + u_C = e,

.

Характеристическое уравнение цепи

RCp + 1 = 0.

Корень характеристического уравнения

.

Постоянная времени RC-цепи

τ = RC.

Пусть e(t) = E = const, т. е. рассмотрим переходные процессы в последовательной RC-цепи при ее подключении к источнику постоянного напряжения с ЭДС E.

Для нахождения u_C(t) воспользуемся формулой для отклика цепи первого порядка

.

Найдем величины входящие в эту формулу:

u_C(0) = 0,

u_Cпр = E,

u_Cпр(0) = E.

Тогда

.

Ток в RC-цепи

.

Напряжение на сопротивлении R

.

Временные диаграммы переходных процессов приведены на рис. 9.7.

Рассмотрим второй случай: разрядку предварительно заряженной емкости C на сопротивление R. Пусть в некоторый момент времени, который мы примем за нулевой, ключ из положения 2 перебрасывается в положение 1 (рис. 9.6). В соответствии со вторым законом коммутации

u_C (0₊) = u_C (0_–) = E.

В дальнейшем емкость C будет разряжаться на сопротивление R и при t →  u_Cпр = 0. Соответственно u_Cпр(0) = 0.

Запишем решение дифференциального уравнения:

.

Ток в цепи

,

.

Напряжение на сопротивлении R

.

Временные диаграммы переходных процессов приведены на рис. 9.8.

146