9. Переходные процессы в линейных стационарных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
9.1. Переходные процессы. Законы коммутации и начальные условия
При установившихся процессах в электрических цепях напряжения и токи либо неизменны во времени, что имеет место в цепях постоянного тока, либо являются периодическими функциями времени, что имеет место в цепях переменного тока. Установившийся режим работы может нарушаться при различных изменениях топологии или параметров цепи (включение и отключение нагрузок, электросварка и т. п.). Любое скачкообразное изменение топологии или параметров цепи будем называть коммутацией. Если внешнее воздействие после коммутации является постоянной величиной или периодической функцией времени, то со временем цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому называют переходными процессами.
В электроэнергетике переходные процессы связаны в основном с изменениями топологии цепи и параметров пассивных элементов (коммутации нагрузки, сварка, контроллеры в электроприводе и т. п.). Параметры источников энергии, как правило, неизменны во времени.
В радиоэлектронике наоборот, топология и параметры цепи остаются неизменными, а внешнее воздействие – входной сигнал – изменяется по произвольному закону. В этом смысле режим работы радиоэлектронных цепей представляет сплошной переходной процесс и уместнее говорить не о процессе перехода от одного установившегося режима к другому (их просто нет), а об отклике цепи на произвольное непериодическое воздействие.
Однако и в радиоэлектронике есть целый класс устройств – импульсные устройства, принцип действия которых основан на использовании переходных процессов при коммутации в электрических цепях, что делает актуальным изучение переходных процессов в их классическом виде.
Другой аргумент в пользу изучения переходных процессов: произвольное непериодическое воздействие может быть представлено как суперпозиция скачкообразных воздействий.
Анализ переходных процессов в их классическом виде необходим также для нахождения временных характеристик линейных электрических цепей.
При анализе переходных процессов в электрических цепях длительностью процесса коммутации обычно пренебрегают и считают, что коммутация осуществляется мгновенно. За начало отсчета времени, как правило, принимают момент коммутации. Момент времени, непосредственно перед коммутацией обозначают t = 0–. Момент времени, непосредственно после коммутации обозначают t = 0+ или t = 0.
Несмотря на то, что коммутация осуществляется мгновенно, переход от одного установившегося режима к другому происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Это объясняется тем, что каждому установившемуся режиму соответствует определенный запас энергии электрического и магнитного полей. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому означал бы скачкообразное изменение энергии, запасенной в цепи. Но в этом случае мощность, равная производной энергии по времени, достигла бы бесконечно больших значений, что физически невозможно. Т. о., суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно без скачков. Но энергия, запасенная индуктивностью,
,
а энергия, запасенная емкостью,
.
Тогда из непрерывности запасенной энергии, следует непрерывность тока в индуктивности и непрерывность напряжения на емкости. Эти положения формулируют в виде законов или правил коммутации.
Первый закон коммутации: ток через индуктивность после коммутации равен току через индуктивность непосредственно перед коммутацией
iL(0+) = iL(0–).
Второй закон коммутации: напряжение на емкости непосредственно после коммутации равно напряжению на емкости непосредственно перед коммутацией
uC(0+) = uC(0–).
Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения напряжения на индуктивности, тока через емкость и напряжения и тока сопротивлений, которые могут изменяться скачком.
Значения токов и напряжений, а также их производных в момент времени t = 0+ называют начальными условиями. Начальные условия подразделяют на независимые и зависимые. Независимыми начальными условиями называют значения токов через индуктивность и напряжений на емкостях в момент времени t = 0+. Значения остальных напряжений и токов и их производных в момент времени t = 0+ называют зависимыми начальными условиями.
Независимые начальные условия определяют из анализа установившегося режима цепи в момент времени t = 0–. Зависимые начальные условия определяют по независимым начальным условиям из уравнения равновесия электрической цепи, составленным для момента времени t = 0+.
Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что в цепи имеют место нулевые начальные условия. В этом случае все независимые начальные условия равны нулю.
Если запас энергии в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, не равен нулю, то говорят, что в цепи имеют место ненулевые начальные условия. В этом случае хотя бы одно независимое начальное условие не равно нулю.