3. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

3.1. Сопротивление, индуктивность и емкость при гармоническом воздействии

Пусть к сопротивлению R (рис. 3.1) подведено гармоническое напряжение u(t) = U_m cos(ωt + ψ). Найдем ток в сопротивлении R.

Согласно закону Ома

.

Но U_m /R это амплитуда тока I_m. Тогда

i(t) = I_m cos(ωt + ψ).

Из сопоставления выражения для мгновенных значений тока и напряжения следует:

• ток через сопротивление совпадает по фазе с напряжением, приложенным к сопротивлению;

• законом Ома связаны не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и действующие значения напряжения и тока:

; .

Мгновенная мощность p_R, выделяемая в сопротивлении R, равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

p_R = ui = U_m I_m cos²(ωt + ψ) =

[1+cos 2(ωt + ψ)] =

= U I [1+cos 2(ωt + ψ)].

Из полученного выражения для мгновенной мощности p_R следует:

• мгновенная мощность всегда положительна, т. е. в любой момент времени сопротивление потребляет энергию от цепи;

• мгновенная мощность состоит из постоянной составляющей P = = U_m I_m / 2 = U I и переменной составляющей, изменяющейся с удвоенной частотой,

p_~ = cos 2(ωt + ψ) = U I cos 2(ωt + ψ).

Можно показать, что постоянная составляющая равна среднему значению мгновенной мощности за период:

.

Среднее значение мгновенной мощности за период

называют средней или активной мощностью.

Рассмотрим индуктивность при гармоническом воздействии (рис. 3.2). Пусть через индуктивность L протекает гармонический ток

i(t) = I_m cos(ωt + α).

Н айдем напряжение на индуктивности

u_L = = – ωLI_m sin(ωt + α).

Поскольку ωLI_m это амплитуда напряжения на индуктивности U_m, то, переходя от синусоидального представления гармонического колебания к косинусоидальному, получим

u_L = U_m cos(ωt + α + π/2).

Сопоставляя выражения для мгновенных значений напряжения u_L и тока в индуктивности, можно сделать следующие выводы:

• напряжение на индуктивности опережает по фазе ток в индуктивности на угол π/2;

• амплитуды и действующие значения напряжения и тока в индуктивности связаны соотношением, подобным закону Ома:

U_m = ωLI_m = x_L I_m; U = x_L I,

хотя закон Ома не применим для мгновенных значений напряжения и тока в индуктивности.

Величину x_L = ωL, имеющую размерность сопротивления, называют индуктивным сопротивлением. Величину, обратную индуктивному сопротивлению, называют индуктивной проводимостью

.

Мгновенная мощность в индуктивности p_L равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

p_L = u_Li = –U_m sin(ωt + α) I_m cos(ωt + α) =

= – sin 2(ωt + α) =

= – U I sin 2(ωt + α).

Из полученного соотношения следует, что мощность в индуктивности p_L изменяется по гармоническому закону, но с удвоенной частотой. В индуктивности происходит обмен энергией между источником и индуктивностью, причем средняя мощность за период равна нулю.

Рассмотрим емкость при гармоническом воздействии (рис. 3.3). Пусть к емкости приложено гармоническое напряжение

u(t) = U_m cos(ωt + ψ).

Н айдем ток в емкости

i_C = = – ωCU_m sin(ωt + ψ).

Поскольку ωCU_m это амплитуда тока через емкость I_m, то, переходя от синусоидального представления гармонического колебания к косинусоидальному, получим

i_C = I_m cos(ωt + ψ + π/2).

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока через емкость следует:

• ток в емкости изменяется также по гармоническому закону, но опережает напряжение на емкости на угол π/2;

• амплитуды и действующие значения напряжения и тока в емкости связаны соотношением, подобным закону Ома,

U_m = I_m /ωC = x_C I_m; U = x_C I,

хотя закон Ома не применим для мгновенных значений напряжения и тока в емкости.

Величину x_C = 1/ωC = 1/2fC, имеющую размерность сопротивления, называют емкостным сопротивлением, а обратную ей величину b_C = ωC называют емкостной проводимостью.

Найдем мгновенную мощность в емкости p_С, равную произведению мгновенных значений напряжения и тока,

p_С = ui_С = –U_m cos(ωt + ψ) I_m sin(ωt + ψ) =

= – sin 2(ωt + ψ) =

= – U I sin 2(ωt + ψ).

Видно, что мгновенная мощность в емкости изменяется также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой. Емкость обменивается энергией с источником питания, причем средняя мощность за период равна нулю.