Г dr d²r] г

U'df’J "^av/l

'a³ + Л³,

= ah sin f I - ah cosfj + a^Jk. = у/a¹ + h\

В силу формулы (3)

* = I = °

или

R “ a^J + /»²'

„ a³ + h⁷ R = const.

Таким образом, винтовая линия имеет постоянный радиус кривизны. С>

Задачи для самостоятельного решения

Найти радиус кривизны данных линий:

36. г = In cos II + In sin IJ + \/2tk.

37. г*А+Й

38. r = &^Jl + (3t-t³)j+2k при 1 = 1.

39. г = a(cos f +1 sin 1)1 + o(s?n t — t cos f)J i?pnt = y.

40. г = achtl 4 oshfj + o*k в любой точке t.

§ 6. Соприкасающаяся плоскость.

Бинормаль. Кручение. Формулы Френе

Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нор­маль к данной кривой X в точке М, называется соприкасающейся гиоско- стью а точке М.

Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плос­костью кривой.

Глава 1. Ежктор-функция скалярного аргумента

dt

Если вектор г = г(*) имеет непрерывную производную — в окрест

d²r(<o)

ностк точки to и. кроне того, иторую производную ■ —у- такую, что

Гdr(<o) dV(io)l .

[ dt • ftt³ J ’

то в точке t - to существует соприкасающаяся плоскость к кривой г = г(<), векторное уравнение которой

me р - p(t) — радиус-вектор текущей точки плоскости.

Нормаль к кривой п точке М, мерпенликулярная к соприкасающейся плоскости кривой в этой точке, называется бинормалью кривой в данной точке М.

Обозначим через Ь° единичный вектор би- нормали. ориентированный гак, чтобы векто- ры г", п", 1>° образовывали правую тройку (рис t0) Iowa

Ь* = 1, Ь° = |т ,п°|.

n ^db°

Для производной — получаем as

ЯР , Го *4

<Ь [ • da J

db°

Вектор — перпендикулярен и вектору т . и вектору Ь , т.е. он ав

коллинеарси нектору п . Положим

тсепа буПем иметь

f

= Arf: т

I

Величина — называется кручением панной кривой, в величину Т

называют радиусом кручения кривой

Кручение кривой определяется формулой

dr d‘r

1 _ „г/'* Яг Фг\ Т \ds'ds¹'ds> J'

i Л

f f a’ + h>’

ТАким образом, крученнс винговой Динин но всех се точках одно и то же. >

Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в тачке t - 0 винтовой (ЦНИИ

г =с ocosfl ь a smtj + htk.

Решение Находим значения данного вектора и его пронэдодиы* — н ^4

•’Точке < — 0:

dt " dt’

r(0) = ol,

dr(0)

= oj i- hk,

d^;c(0)

dt¹

* -oi