Dieea 3. Векторное поле

§ 11. Поток векторного поля. Способы вычисления потока

59

Решение В данном случае (рис. 25) имеем

Я=1. /г(*.У) = !-*-»> Л(*.у) = 2-*-У Перехода к координатам на имлиндре

2. — COS ys^Siny», X =z_t будем иметь

/,(*.У) = I - cos(О-ЫН<р,

Л(*I у) = 2 - COS IP - sin у.

Согласно формуле (13) поток векторного поли г 8улег ровен

lit 2-coiy— ftin*?

n = tf Jdp J (r,n^c)di.

0 l-co**-*my

Но так как на цилиндре z^! + у³ =1

n° - xl + yj — cos^i + sinyij,

(r, a") = z³ -by¹ = cos³y> + sin V⁼ •

2ir 2«ci» *-чиц»

и. следовательно.

П ее Я¹ J dp J <1г = J dtp — 2*.

. в сферических координатах имеют вид в - /](<р), в = /,(v?) и полуплос- костями р> = <p_t , (р =

Положим для точек данной сферы

Задачи для самостоятельного решения

118. Нейти поток векторного поля а = yl ■+ *) - е**“к через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра х’-ку³=4. ограниченной плоскостями л=0 м z- у+г=4.

119. НаИти поток векторного поля а = zi - zy] + zk через внешнюю сторону цилиндрической поверхности 1? + л’ = Я³. ограниченной плоскостями у = I и z + у = 4.

120. Найти ноток векторного полк в = z’l - y³J + zi’k через внешнюю сторону цилиндрической поверхности z’-t-y³ = 0, ограниченной сферой х³ +у³ -Ы³ = 25

121. Найти поток аекториого поля а = zl - у) - zyi’k через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра z¹ +• у³ = i, ограниченной плоскостью 1 = 0 и гиперболическим параболоидом ж ш ** - у*.

122. Нейти поток векторного поля а = (zy - у’)1 + (2z - х³ + zy)J + ek через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндрв z³ + y^J = 1, ограниченной

1 а¹ 1

Случай 2. Пусть поверхность S является честью сферы х² + у² + г¹ = R², ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых

х - /fcosyisinfi, у = R sin <р sin в, z = R cos 6,

irne v>! < ip ij ip₃, 0, ^ в £ в₂. Тогда для

T элемента площади S получим (рис. 26)

dS = jR¹ sin в d9 dtp.

IВ этом случае поток векторного поля я

крез внешнюю часть S сферы вычнеля- тся по формуле

№ h

if f п Рис. 26

П = я I dtp I (в, n°) sin в de, (14)

Я> »|

_n0 _ grad (х¹ + у² + г² - Я³) ai + yj + zk Igrad (х² + у² + z² - R²)l ~ R

Пример 13. Найти поток векторного поля в = (х - 2у + 1)1 + (2х + у - 3z)j + (Зу + х)к через часть поверхности сферы х² + у² + х². расположенную в первом октанте, в область, где г² + у² + z² > 1. Решение. В данном случае имеем

R=l, (Я, =0, у>. = j,

в,=0, «1 = ^, п^Г = zl + yj + zk, (ж, п°) = se^J + у² + ж* + *.

!дем на сфере х¹ + у³ + z² = | координаты <р и в гак, что

z = coiy>sine, у = вт^ыпв, л = cos В.

Тогда будем иметь

(а, в^г) = I + easy?sm#

М применяя формулу (14). получим

I г г

Р*|= 1^1 (1 + COS sin 0) sin 0 rffl =*=

0

iff */l *n

= I dy I iin0d0 + J ca&ydp jury ⁷вп$ - t>