Глава 6. Криволинейные координаты

Тогда

diva =

I [0(a_tHiH_}) 6(ajH,Hy) 0(а₃И,Н₂)]

Я|ЯзЯз|_ ®g, Офг ®gj J

В частности, в цилиндрических координатах (g, = р, g₂- V, ?з = л):

! 0(рД|) I ба₂ ваз

<j,va= +

р Op р Dip Ог

в сферических координатах (g_t = г, gj = ®, gj = у):

I ©(г*а,>

^dlV1=~2 о- +

г² От

I 6(sin в • ej) I fla.j

г sin у> 4>уз

г sin®

а®

(5)

sin®

_ _ _ 2cos®

Пример 5. Показать, что векторное полв а = —j—е, +

солакоидельно. ^г

Решение. Пользуясь формулой (5). будем иметь

.. I 8 / ,2cos®\ I а ( sine's , б!У» = -Т— { г'— + —г— Sin® Г- 1+0 =

г^гвг\ г⁵ ) rsineee V г⁵ /

I ( 2cose^

⁼ Д г> ) ⁺

всюду, где г Ф 0. Это и означает, что векторное поле а соленондальио всюду, кроме точки г = 0. >

2sinflcos® = 0

Задачи для самостоятельного решения

267. Найти уравнение векторных линий следующих полей

. „ . 2ocos® osin®

а) а=е,+р*, + е.-; б) а=/ж„+^е,+хе,; в) а=—₅—е,ч г—*_#, o=const.

г г*

Найти градиенты скалярных полей:

а) В цилиндрических координатах

2вВ. u = p^] + 2pcosyj-e* sin у. 269. u = pcosyi +1 sin'у - У.

б) В сферических координатах

270. и=г¹со$е. 271. u=3r^Isine+e'cosvi—г. 272. _и = ^^~, р = солн. Вычислить дивергенцию нскгарных полей:

а) В цилиндрических координатах

273. а = ре, + г sin + с" cos хе, 274. а = у» arcig pt, + 2е» - xV«,.

б) В сферических координатах

276. а= г\ -2 cos’у*» + _т^₊ ^

Вычислить ротор следующих векторных полей;

119

276. а = (2г + о cos *р)е_г - о sir $ъ> + г cos6*^, о - сопл.

277. а = г*е_г + 2со*0е» - ре*.

sin у? ,

276. в = cos е„ —ре,.

Р

2. cos б sin 0

276. Показать, что векторное поле а = —_;—(, + —r-е, является потенциаль­ным. ^г **

277. Показать, что векторное пале a = /(г)е,, где /(г) — любая дифференци­руемая функция, является потенциальным.

5°. Вычисление потока в криволинейных координатах.

Пусть S — часть координатной поверхности <?| = С, где С — cons», ограниченная координатными линиями

92 = <*1. 92 = 02 (Q| < <*j);

9з=0|. 9з=А ; Тогда поток векторного поли

* = ci(«i. 92,9з)е, + «2(91.9i<9i)*2 + “j(9i, «2, 9з)*з через поверхность S в направлении вектора е_; вычисляется по формуле <4 Pi

П = J J о»(С, 9}, уз)И](С.gj) dft dqi. (6)

о, А

Аналогично вычисляется поток через часть поверхности 9j = С или I через часть поверхности jj = С. где С = const.

Пример в. Вычислить поток вахторного поля, заданного в цилин­дрических координатах: а = ре, -4- хе,, через внешнюю честь боковой поверхности цилиндра р = 1. ограничвмадго плоскостями г = 0, г = I.

, Решение. Цилиндр является координатной поверхностью р = С = const, I а поэтому искомый поток

>• I

П = J J C^,dzd_v = I*C¹

о о

Отсюда для поверхности р » I получаем

П = 2ir. О

, Пример 7. Найти поток векторного поля, заданного а сферических координатах: а = т^гве, + ге^ве» через внешнюю сторону верхней ! полусферы S радиуса R с центром в начале координат.

Решение. Полусфера S является часть координатной поверхности r= const, именно г = Д. На поверхности S имеем

g,=r = «; * = «, 9i=9^l, 0<(Д<2я.

Панна 6. Криволинейные коордннвты

Учитывая. что в сферические координатах

#1 = H_r = I, ffj = Ящ — г, #i = Я_у = г sin 6, по формуле (6) найдем

•П it */i

П= [ de Г H⁴0sm0d9 = 2*J?⁴ f Buved6=2rR*.

t>

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поток векторного поля, заданного в цилиндрических координагах. через данную nonepxHOcib S

276. а = pt_r - cosyre^ + те,. 5 — замкнутая поверхность, образованная цилмн- лром р = 2 н плоскостями х = 0 м г = 2.

277. а = ptf+fxpbp-lztj, S — замкнутая поверхность, образованная цилиндром

276. Найти поток искгорного поля а — Xjt, через сферу радиуса К с центром в начале координат.

277. Найти поток лектор него поля, заданного о сферических координатах: а =

ге_г + г sin Otj - >9 sin через верхнюю полусферу радиуса R

276. Найти поток векторного поля, заданного в сферических координатах: ж - г^ге, + Я¹ cos через сферу г - R.

277. Найти поток векторного поля, заданного в сферических координатах ж = re_r — г sin Яву через поверхность, ограниченную полусферой радиуса R

1Г

и апоскостыо 9 = —, в направлении вектора е,.

276. Найти поток яеморного ноля, заданного в сферических координатах: а = rein-e* + rsin^C0S9e_v. через внешнюю сторону замкнутой поверхности, образованной верхней частью конуса У3г^; = т² + у^} и плоскостью z = >/Ъ

6°. Нахождение потенциала в криволинейных коорди­натах. Пусть в кринолинейных координатах 91, 92, 93 задано векторное поле

»КМ.) - а,(в1, 9₂.9з)е, + <12(91,92,9s)ej + 03(9,, q_u 9з)ез, которое является потенциальным н некоторой области П изменения переменных 91, 92, 9j. т.е. rol а ^ 0 в П.

Для нахождения потенциала и = 11(9, ,q₂,93) этого поля равенство а(М) - grad u(M) записывается н виде

⁺ Hidq,^ty

I Ou 1 Он

Отсюда следует, что

(7)

-ЬСОSy>,

1

“В* р

а_

дг In р

т+?

г. с. данное поле потенциально. Искомый потенциал и * и(р,р,х) нпляетсн решением следующей системы днфферен пиалы пах уравнений

fiu arclg z

op p Bu

- = -_imVp.

0U _ Inp

si ~ m»^-

Из первого уравнения игнорированием по р находим, что и = Inparctgx +pcoey + C(va, в).

Дифференцируя (8) по у>. получим

8v ОС

— = -psintp + —, dip д<Р

du dC

н гак как — = -pump, то — = 0, т. e. С = C\(x). Таким образом.

(8)

dp

op

tl = In p • arclg z 4- pctAp 4- C|(v>, x).

(9)

(Ю>