Глава I. Векгор-функция скалярного аргумента

где функции x(t), y(l), z(t) дифференцируемы н точке I. Тогда существует dr

— при этом значении t и at

dr dx. dt/. dz_t dt ~ ~dt⁺ dt^{1 +} dt^k’

dr

(о

Пример 1. Найти —, если г = ecosti + 6 sin fJ (точка движется

dt

no эллипсу).

Решение. По формуле (I)

dr

— = —a sin /I 4-6cosfj. dt

По аналогии с дифференциалом скалярном функции дифференциал вектор- функции г = г(t) есть вектор dr, определяемый равенством

dr

dr = — dt, dt

где dt — At — приращение скалярного apt у мента i Как н для скалярных функций,

Дг =: dr -ь оД<,

где а * a(t, At) при At -*0. >

Основные правила дифференцирования вектор-функций

Предположим, что все рассматриваемые функции (как скалярные, так и векторные) непрерывны и дифференцируемы.

dc *

1. Если с — постоянный вектор, то — = 0.

а/

2. Производная суммы вектор-функций равна сумме производных сла- гаемых

d(a<0 + b(f)) da db

dt.

dl ⁺ dt'

3. Пусть нектор-функиии я(<) умножается на скалярную функцию m{t) того же скалярного аргумента. Тогда

dt

4.

5.

d(rna)

<*(»■ Ь) dt

d|a, b]

da dm

^=ms ⁺ ^^a

-(‘S)*(S4

iNt^b]4§]-

(В этой (формуле в правой части надо соблюдать тот же порядок множителей а и Ь, что и н ясной части.)

9

Докажем, например, формулу 4. Положим \p{t) ~ (a(*),b(f)). Дадим t прирашение Д/; будем иметь и силу распределительного свойства для скалярного произведении

Ду> = <p(t -f Д<) - tp(t) = (я + Да, Ь ДЬ) - (а, Ь) =

= (Да, b) 4- (а, ДЬ) » (Да, ДЬ).

Отсюда

!М=-‘) ♦(*=)♦ (=■“)■ «

По условию функции а(|) и b(t) имеют производные при значении t аргумента и, значит, непрерывны при этом значении t. Поэтому

Да da ■ ДЬ rfb

1ип — = -г:, Hm — =~, дт—о Д/ dt —о Д/ dt

Переходя в (2) и пределу при ДI, получим

d( а,

lim ДЬ = 0.

Д1-0

[^а>ь) _ (^d* ,д , (. ^Л\

ir-{di'^b) ⁺ V'dt)

Задачи для самостоятельного решения

12. Дано г =* г(0- Найти производные

Hh d d / dr\ d Г drl

^a)s^(r)- ⁶⁾*(w ?ггг]'

12. Доказать, что если модуль |г] вектор-функции г= г(Г) остается постоянным

dt

для всех значений I. то — 1г. Каков геометрический смысл этою факта?

dt

12. Докпзать, что если с единичный вектор и направлении вектора к, то

I^е? de | =

lE.dE]

1*Т

20. Пусть

и ж «,(*, у, х, t)i 4- у, f, /у 4- Hj(*, у, х, <)Ь, где Ti,, uj, tij — нспрерыпно дифференцируемые функции своих аргументов, а х. у. х — непрерывно дифференцируемые функции от /. Показать, что

da

dt

du du dx #u dy du dx ⁺ &xdt ⁺ 5yd/ ⁺ dsdt

21. Найти траекторию движения, /ui« которою рамус-вектор r(t) движущейся

dr

Точки удовлетворяет условию — = [а, г], гле я — постоянный вектор.

dl

dr

Производная — пектор-функции г(/) скалярного аргумента инлй- щ ^

стся всктор-функиисй того же аргумента. Если существует производная