Глава 3. Векторное поле

Задачи для самостоятельного решения

204. Вычислить плотность циркуляции векторного поля i = *l + *J + yka точке С(0,0,0) по контуру площадки, перпендикулярной направлению оси Ох, с по­мощью системы окружностей L- (у = о cos», г = asint, * = 0; 0 < I < 2к), гае о -•0

205. Вычислить плотность циркуляции векторного поля я = 2Щ + Six) в точке С(0,0,1) по контуру площадки, перпендикулярной направлению осн Ох, с по­мощью системы эллипсов £■ (* = acral, у — bsint, * = I; 0 < ( < 2»}, где а “♦ 0.

§17. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина

Определение. Область С трехмерного пространства называется од­носвязной (точнее, поверхностно односвязной), если на любой зам­кнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверх­ность. целиком лежащую в области С. Например, все трехмерное пространство, внутренность сферы латаются одноевнэнымн Обла стими; внутренность торя, трехмерное пространство, из которого выброшена прямая, не являются односвязными областями.

Теорема. Для того чтобы линейный интеграл

не зависел от фермы пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле

Здесь предполагается, что координаты Р(х, у, х), Q(x, у, *), Щх, у, z) вектора а имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) односвяэна.

В этом случае линейный интеграл /(а,dr) будет зависеть только

от положения начальной к концевой точек пути интегрирования L.

Г1рн выполнении условий теоремы циркуляция векторного поля я(М) по любому замкнутому контуру С, расположенному в векторном паче а(М) равна нулю: $ (а, dr) = 0.

L

I

я = Р(х, у, z)I + Q(x, у, x)j + Щх, у, х)1с

было безвихревым, т. е.

rot в(М) = 0.

I

С

(0

п>1а(Л7) -

j

Ь__

Оу

Q

-(°£._ор\

~\ох ду)

1. Поэтому для плоского векторного поля (I), определенного е односяязной I области G, услоиие rota(M) = 0 я координатной форме записывается

By Ох

Таким образом, для того чтобы для плоского поя я. определенного Я односвязной о&тсти G. линейный интеграл

J Р(х,!/)

dx + (Цх. у) dy

11. f зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы питялось соотношение

0P ₌ 6Q Оу ~ Вх'

Замечание, требование, чтобы область С, где определен вектор я = а(М), была олносиязноЯ, существенно. Если область G неодносвязна, то при условии rota(M) = 0 линейный интеграл может зависеть от формы пути интегрировании

1

м

Пример 2. Рассмотрим линейный интеграл

-ydx xdy х¹ + у² х^! + у¹

I

Решение Подынтегральное выражение тер мет смыс.ч и точке 0(0,0); по­этому исключим эту точку. В оставшееся части плоскости (это будет уже кеодко сьиэная область) коэффициенты при ёзг и ёу непрерывны. имеют нелрерьжные частные производные, и ны но л ни пси тожлесшо

±(-£-) = 1_Л.

Ох\х^} I у⁷/ ву\ х^г+у*/

С tp>I ом стороны. если нычис.'н i ьзго! «н rei рал вдоль окружности L х¹ ь у’ =R то параметры *мру*г уриинеине тгой окружности, будем иметь

r-ydx-,xdy J *' ™ t.[ Ki°l2_{dt =} ?_л=2я.

/ *’ -ну¹ J R¹ J

X » о

Мы получили, что циркуляция отлична от нули и. еледонглелмю. линейным интеграл эзвисит от пути ннте|рнро8пнии t>

Задачи для самостоятельного решения

Оприклтъ. для каких щ указанных ниже искторных полей интеграл не чвист от формы пути интегрировании

206. > = r^,i+?^rjfj/^:k. 207. а

Г| • ij ‘ jk

v/l .i’ + ll^, + :^:

20В. а =

И - 3 Т . к

х¹ + Я¹ + -¹

Формула Гдина Пусть в области D с грани- цей L залано плоское векторное поле

а = y)i + Q(x,P)i, г.:с координаты Р(х,у), Q(x. у) непрерывны и имеют непрерын ОР

ные частные производные —— ду 0Q

" Ох

Тоша справедлива формула Грина

(2)

Прн этом гранича I i|роколнтся так. чтобы область D остается слева.