3

Векторное поле

§10. Векторные линии.

Дифференциальные уравнения векторных линий

Определение I. Если п каждой точке М пространства или части пространства определена пекторнаи величина а = г(М), то говорят, что задано иекторное пом.

Если в пространстве кнелека декартова система координат, то задание некгорного поли а = а (М) рапносильно заданию трех скалярных функций точки Р(М). Q(M). ЯШ), гак что

Определение 2. Векторной линией векторного поля а называется кривая, в каждой точке М которой вектор а направлен по касатсль ной к этой кривой.

Пусть векторное ноле определяется вектором

— непрерывные функции от х. у. г, имеющие ограниченные частные прок

систему двух конечных уравнений

yj,(г. у. z) = Ci, z) = С₇,

которые, рассматриваемые п совокупное in. определяют;двухпараметри ческое семейство векторных линий

аШ) = Р(х, у. *)' t Q{x, у. z)i + R(x, у, *)k

■ =Pi + (?j + Rk.

P -P(x,y,z), Q - Q(x, y. z), R-R(x.y,z)

Интегрирован не системы лвук дифференциальных уравнений (I) даст

{

Vi(z.y. z) - С,,

Ых, v. = Qt

(2)

37

Если в некоторой области G для системы (I) выполнены условия ремы существования и единственности решения, то через каждую ку Mufat.yо, *о) 6 С проходит елннстпенная векторная линия

_{

¥>'<=. У, г) = V’i(^Io,W.Zo),

У>Л*. V> *) = фЛхъ, У а, то)-

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля а = [с, г|.

где с — постоянный вектор-

I Решение. Имеем

с = C|l-bcjl + cjk, r = *l + y}4-xk,

тик что

= (Cj* - Cjy)l + (с,ж - c,z)j + (с,у - с₂*)к

1 \ к

С, С> Cj X у Z

■ренцнальиыс уравнения векторных линий

dx dy dz

. = [e,r)

Дифференциалах

(3)

C}t - Cj У C}X - c_tz C,y- c₃x

Домножим чиститель и знаменатель мерной дроби на х, второй - на у, третьей — 'щ* г и сложим почленно. Используй С1ЮЙСПЮ пропорций. получим

dx _ dy dz _zdx±ydy + zdz

С,у - Cj*

Сюда

К Значит.

Cj*— С;У CjX-Ci*

xdx-f-ydy4-rd£ = 0,

х¹+ у^+х = Л|, А, -- const > О Домножнм теперь числитель н знаменатель пер-

вой дробь (3) на Ci, второй — на cj. третьей •ю с, И сложив почленно, получим

dx dy dz

cjx в,у cj* - c\z с,у - Cj«

_ь C| djf + Cj dy + C_f dz

<П*удл

c, dx V Cj dy + Сз dx = 0 [Цу следовательно,

C,x + Cj у 4* CjX SS i4j, Д, ~ СОПК

Искомые уравнении аекюрных лнннй

Рис. 14

х² + у^? н

¹ А,

[ C»X + Cjy - С]Х = Д₂.

Глава 3. Векторное поле

Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пе рессчсння сфер, имеюших общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору с = с,1 + cj + Cjk. Отсюда елслуст. что векторные линии являются окружностями, центры которых нахсшятся на прямой, проходя шей через начало координат в направлении вектора е. Плоскости окружностей Перпендикулярны указанной прямой (рис. 14). t>

Пример 2. Нвйти векторную линию поля

» = -J/I + aj + bit, проходящую через т очку (1,0,0).

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий dx dy dz

—у

rfy

dx

‘ Т

принимает вид

v/TTcoiteK dx

^{кли dz = 6<tt}'

откуда находим

a = M + Ci.

Итак, параметрические уравнения векторных линий будут

_{

х= УС, cost,

у~ Ус, slot, (⁴)

X = Ы + С].

Потребовав прохождения векторной линии через точку (1,0,0). будем иметь

_{

1 = УС,cost,

0 * Ус, sin I,

0. = N + C,.

Первые два уравнения этой системы удовлетворяются при ( *= кк, к = 0, ±, 1.... и при С, = I- Беря к = 0, получим * = 0. и последнее уравнение системы лает

Пример 3. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Решение. Булем считать, что проводник направлен по оси Ог и в этом же

₍

(.Направлении течет ток I Вектор напраженностя Н магнитного поля, создаваемого током, равен

Н = £|1,г), (5)