Вариант 7

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и .

Найти ранг матрицы

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Установить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Даны четыре вектора

=(2;1;0); =(1;–1;2); =(2;2;–1); =(3;7;– 7)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

6. Точки , и являются вершинами треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.

7. Верно ли, что прямая параллельна плоскости ? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.

Контрольная работа № 2

1. _{Найти предел:}

.

2. Написать уравнение касательной к параболе , параллельной прямой, проходящей через точки (2; 3) и (7; 13). Сделать чертеж.

3. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Сделать чертеж.

6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:

	2	4	5	6	9
	5,5	6	6,5	7	7,5

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Решить задачу Коши:

; .

_{8. Исследовать сходимость ряда:}

Вариант 8

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Даны четыре вектора

=(1;1;1); =(0;2;3); =(0;1;5); =(2; –1;1)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=–x₁²+3 x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=x₁²+ x₂²+ x₃² +4x₁x₂+6x₁x₃ +4x₂x_3..

6.Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых , .

7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .