13.2. Цільова функція, обмеження та граничні умови при побудові моделі (опису) об’єкта

Математична модель, тобто формалізований математичний опис об’єкта, включає в себе цільову функцію, обмеження та граничні умови.

Вигляд цільової функції, яка в принципі являє собою функцію мети, визначається в основному типом критерію оптимальності – певним показником, який кількісно виражає результат прийнятого розв’язку і дає однозначну оцінку об’єкта дослідження, в першу чергу, в сенсі оптимізації. В цьому випадку на кожну змінну встановлюють певні обмеження і визначають область допустимих (граничних умов). В загальному вигляді запис цільової функції має такий вигляд:

F(x ,x₂,…x_n) → extr або →max/min, (13.12)

де x ,x₂,…x_n – шукані змінні, що діють на об’єкт і значення яких визначаються в процесі вирішення задачі.

Шукані змінні за своїм характером поділяють на безперервні, дискретні та цілочисельні. У випадку, коли змінна приймає нові значення, вона буде безперервною, приймаючи тільки значення цілих чисел, буде цілочисельною змінною, а у випадку, коли вона (змінна) може приймати тільки певні значення, буде називатися дискретною. Прикладами таких змінних відповідно можуть бути: потужність, яка передається по лінії електропередачі; кількість підстанцій для електропостачання об’єкта; потужність компенсуючого пристрою або переріз проводів електричної мережі, значення яких регламентуються відповідними стандартами, енерговитрати при використанні різних електротехнологічних процесів.

Залежності між змінними в цільовій функції можуть бути лінійні або нелінійні. Прикладом лінійної залежності в загальному вигляді при n невідомих змінних може бути:

F = b x + b x + … +b x , (13.13)

тобто залежність , в якій змінні входять тільки в першій степені. В усіх інших випадках залежність буде нелінійною.

Обмеження, які включає математична модель, являють собою різні технічні, технологічні, організаційні, екологічні та інші умови, які необхідно враховувати при розв’язанні оптимізаційних задач.

Ці обмеження являють собою залежності між змінними x ,x₂,…x_n, які можуть бути лінійними або нелінійними і створюватись у вигляді рівностей або нерівностей:

f₁(x ,x₂,…x_n) = b₁ ,

f₂(x ,x₂,…x_n) ≤ b₂ , (13.14)

……………………..

f_m(x ,x₂,…x_n) ≥ b_m .

Кількість обмежень дорівнює m , а постійні коефіцієнти b_j (права частина обмежень) називаються вільними членами.

Граничні умови встановлюють діапазон зміни шуканих змінних:

d_i ≤ x_i ≤ D_i, i = 1,2, … n , (13.15)

де d_i, D_i ― відповідно нижня та верхня межа діапазону зміни х_i.

Враховуючи те, що в більшості чисто технічних прикладних задач всі шукані змінні, як правило, невід’ємні, граничні умови можуть мати такий вигляд:

x_i ≥ 0, де i = 1, 2, … n. (13.16)

У цьому випадку, наявність обмежень і граничних умов відшукується як відносний екстремум цільової функції і може мати такий вигляд (рис. 1.5).

Рис.13.1. Діапазон зміни одного змінного F(x), де ділянка 1-2 – діапазон зміни (граничні умови)

Наприклад, при розв’язанні задачі з мінімізації втрат активної потужності в електричній мережі за рахунок зміни завантаження джерел реактивної потужності і коефіцієнтів трансформації трансформаторів з регулюванням під навантаженням [5], цільова функція може мати такий вигляд:

(13.17)

де n, k – відповідно кількість віток та вузлів у схемі заміщення; Ii(x), Ri, Uj, Yj – відповідно величини струму та активний опір в і-й вітці, напруга в j-му вузлі, активна провідність шунта в j-му вузлі.

Відповідні обмеження для подібної задачі, це – рівняння балансів активних і реактивних потужностей у вузлах схеми заміщення:

Рвуз(х) = Рзад ; Qвуз(х) = Qзад . (13.18)

Практичне розв’язання оптимізаційних задач висуває ряд вимог до цільових функцій і, в першу чергу, однозначність, керованість, відповідність і зручність розв’язання.

Однозначність стверджує те, що оптимальність об’єкта повністю характеризується однією цільовою функцією. Вимога керованості забезпечує залежність цільової функції від змінних керування, а відповідність цільової функції означає, що знайдені оптимальні величини змінних факторів забезпечують найкраще керування об’єктом.

Враховуючи різні відношення до цільових функцій, критеріїв, задачі можуть поділятись на типи (класи) залежно від конкретних умов, призначення, покладених функцій та мети.