12.2. Алгебраїчні методи перетворення систем рівнянь для вирішення задач лінійного програмування

Процес перетворення системи обмежень – рівностей у моделі (3.2) при переході від одного до іншого розв’язання необхідно здійснювати у такій послідовності.

Проаналізуємо систему (3.5) і зробимо припущення, що в якості базисних змінних зручно прийняти змінні x₃, x₄, x₅, а в якості вільних – x₁, x₂, тобто:

x₁=0, x₂=0. (вільні змінні);

x₃=b₁, x₄=b₂, x₅=b₃. (базисні змінні).

Вихідну систему (3.5) запишемо більш докладніше, тобто базисні змінні і коефіцієнти при них подамо жирним шрифтом:

(12.9)

Далі проводимо процедуру, якою часто користуються в шкільному курсі алгебри при розв’язанні систем лінійних рівнянь, а саме: вільну змінну x₁ переводимо в розряд базисних, а базисну змінну x₃ навпаки – в розряд вільних.

Суть цієї процедури: з першого рівняння системи визначається змінна x₁, яка потім підставляється в друге та третє рівняння системи. Таке перетворення обумовлює перехід вільної змінної x₁ в базисну, а базисної x₃ у вільну.

Стовпчик (перший системи рівнянь (3.7)), в якому присутня вільна змінна x₁, що переводиться в розряд базисних, буде мати назву ”розв’язний стовпчик”, а рядок, в якому присутня базисна змінна x₃, що переводиться в розряд вільних (перший рядок) буде мати назву ”розв’язний рядок”. Коефіцієнт, який знаходиться на перетині розв’язного стовпчика та розв’язного рядка буде мати назву ”розв’язний коефіцієнт”.

Наступним кроком буде ділення першого рівняння на розв’язний коефіцієнт (в нашому випадку a₁₁):

(12.10)

Звідси:

Далі, підставляючи значення x₁ в друге та третє рівняння системи (3.7) і виконавши нескладні перетворення разом з (3.8), отримуємо нову систему рівнянь:

(12.11)

Коефіцієнти перетворення системи запишемо в більш спрощеному вигляді: (коефіцієнти помічені штрихом):

(12.12)

У системі (3.10) вільними будуть змінні x₂ і x₃, а базисними – змінні x₁, x₄, x₅, тобто нове рішення: x₂ = 0, x₃ = 0; x₁ = b́ ₁, x₄ = b́ ₂, x₅ = b́ 3, в якому змінна x₁ стала базисною, а x₃ – вільною.

Аналізуючи вирази (3.9), (3.10) можна сформулювати три правила перерахунку коефіцієнтів при переведені однієї з базисних змінних у розряд вільних, а однієї із вільних змінних у розряд базисних.

1. Всі коефіцієнти, які не належать розв’язному рядку і розв’язному стовпчику, перераховують за виразом:

(12.13)

де – коефіцієнт, який знаходиться на перетині і-го рядка та j-го стовпчика; – нове перераховане значення коефіцієнта ; – розв’язний коефіцієнт; – коефіцієнт, який знаходиться на перетині і-го рядка та розв’язного стовпчика; – коефіцієнт, який знаходиться на перетині розв’язного рядка та j-го стовпчика.

2. Всі коефіцієнти розв'язного рядка ділять на розв’язний коефіцієнт , який при цьому стає рівним одиниці ( =1).

3. Всі коефіцієнти розв’язного стовпчика, крім розв’язного коефіцієнта, замінюють нулями.

Таким чином, перехід від одного рішення до іншого складається в перерахунку коефіцієнтів системи рівнянь за вищенаведеними правилами.

При розв’язанні конкретних реальних оптимізаційних задач зручно користуватися записом систем рівнянь у вигляді таблиці (табл. 3.1), в якій виділимо розв’язні рядок і стовпчик.

12.1. Розв`язні рядки і стовпчики системи рівнянь (3.10)

Користуючись трьома правилами, наведеними вище, перерахуємо коефіцієнти табл. 3.1 і отримаємо нові дані (табл. 3.2), які відповідають системі (3.10).

12.2. Значення коефіцієнтів після перерахунку

У наведених таблицях 3.1 і 3.2 базисні змінні та коефіцієнти при них з метою виділення їх подають або жирним шрифтом або розміщенням з позначенням 1 або 0.