8.2 Матриця планування.

Алгоритм опорного розв’язку полягає у такому:

1. У випадку, коли всі вільні члени системи (3.14) невід’ємні , опорний зв'язок вже отримано і має вигляд: … , тобто: для знаходження опорного рішення за умову необхідно у системі (3.14) прийняти всі вільні змінні рівними нулю (х₁=0; х₂=0; … х_п=0); обчислити базисні змінні ( ), які стануть рівними відповідним вільним членам ( ).

2. У випадку, коли вільний член в одному з рівнянь системи (3.14) від’ємний ( ), а всі елементи відповідного рядка невід’ємні, система несумісна з умовами невід’ємності змінних і не має розв’язку.

3. У випадку рівняння з від’ємним вільним членом ( ) і наявністю від’ємного елемента ( ) стовпчик таблиці, в якому він розташований вибирається як розв’язний. За наявності декількох таких елементів можна вибирати будь-який з них.

4. Зробимо аналіз всіх елементів цього стовпчика, які мають однаковий знак із своїм вільним членом. Розгляд елементів здійснюється за винятком рядка цільової функції (W). Розв`язним елементом при цьому є умова, коли відношення вільного члена до свого елемента має мінімальне значення . Після цього звертаємося знову до алгоритму заміни змінних.

5. Відповідно до правил здійснюється обмін змінними, яким відповідає обраний розв’язний елемент.

6. Отримавши рішення, знову продовжуємо дослідження відповідно до вимог п.1 і 2. У випадку, коли рішення не являє собою опорний розв’язок і при цьому не доведена несумісність системи обмежень, процедура обміну змінних повторюється до знаходження опорного рішення або до прийняття рішення про несумісність системи.

Після знаходження опорного рішення наступним етапом є пошук оптимального розв`язку. Цей пошук здійснюється за наступним алгоритмом:

1. Аналізується стандартна таблиця (симплексна), яка відповідає знайденому розв'язку (табл. 3.4). У випадку, коли всі вільні члени невід’ємні ( ), а також не враховуючи рядка W, в якому немає жодного додатного елемента ( ), не враховуючи вільного члена в цьому рядку, оптимальний розв'язок можна вважати досягнутим. Він буде мати такий вигляд:

2. У випадку, коли не враховуючи вільного члена, в рядку W є один або декілька додатних елементів і в кожному з відповідних цим елементам стовпчиків немає жодного додатного елемента, оптимальний розв'язок відсутній, а функція мети в цьому випадку не має обмеження знизу.

3. У випадку, коли хоча б в одному з таких стовпчиків існує додатний елемент, здійснюється обмін вільними та базисними змінними. Розв`язним елементом при цьому приймають той додатний елемент, для якого відношення до нього відповідного вільного члена має мінімальне значення. При цьому у рядку цільової функції (W) можуть бути два або декілька додатних коефіцієнтів, відповідні стовпчики яких мають додатні елементи, що для вибору розв`язного елемента обумовлює можливість взяти будь-який стовпчик.

4. Знову звертаємося до п. 1 і за необхідності вся процедура повторюється.

Наприклад, дана система рівнянь:

(8.5)

Необхідно провести заміну змінних , тобто вивести змінну х₃ з числа вільних змінних і перевести її в базисні, а натомість ввести в число вільних змінну y₂ . Перепишемо систему у стандартній формі і складемо стандартну табл. 3.5.

(8.6)

Згідно з таблицею, розв’язний елемент знаходиться на перетині рядка у₂ і стовпчика x₃ . Це число 2, а обернена до нього величина . Складемо табл. 3.6 і запишемо у верхніх частинах її клітинок елементи табл. 3.5. У тій самій таблиці запишемо результати проміжних обчислень. Число запишемо в нижній частині клітинки розв'язного елемента.

3.5. Матриця системи рівнянь (8.6)

Нижні частини решти клітинок табл. 3.6 заповнюємо згідно з п.п. 2 – 5 наведеного вище алгоритму. Перепишемо ще раз табл. 3.6 до табл. 3.7, замінивши x₃ та y₂ і навпаки, обчисливши її елементи у відповідності з п. 6.

3.6. Дані проміжних обчислень

3.7. Дані після трансформації табл. 3.6

Так, початкова система рівнянь була розв’язана відносно змінних y₁, x₃ , y₃ і прийняла такий вигляд:

(8.7)