2. Решение показательных уравнений из сборника цт

ЦТ-2012

В5. Найдите произведение корней уравнения:

+ 128 = ∙

Решение.

+ 128 = ∙

Представим в виде произведения

= =

+ 128 = ∙

При произведении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются

+ 128 =

= 128

2∙ = 128

= 64, = 4³

Когда степени равны, то и их показатели равны

x² = 3

x =

Произведение корней уравнения

= -3

Ответ: -3.

ЦТ-2014

В7. Найдите произведение суммы корней уравнения на их количество:

4^x-1 - 2^x-1 = 2^x+5 - 2⁶

Решение.

4^x-1 - 2^x-1 = 2^x+5 - 2⁶

(2^x-1)² - 2^x-1 - 2^x+5 + 2⁶ = 0

(2^x-1)² - 2^x-1 ( 1+ 2⁶) + 2⁶ = 0

Решаем данное уравнение методом замены

2^x-1 = t, t > 0

t² - (1 + 2⁶) t + 2⁶ = 0

D = b² - 4∙a∙c = ( 1 + 2⁶)² - 4∙1∙2⁶ = 1+ 2∙2⁶ + 2⁶ - 4∙2⁶ = 1- 2∙2⁶ + 2⁶ = (1-2⁶)²

t₁ = = = = 1

t₂ = = = = 2⁶

Произведение суммы корней уравнения на их количество

(1 + 7) ∙ 2 = 8∙2 = 16

Ответ: 16.

ЦТ -2016

В6. Найдите сумму корней уравнения:

(x - 81) ∙ (9^x + 8∙3^x+1 - 81) = 0

Решение.

(x - 81) ∙ (9^x + 8 ∙ 3^x+1 - 81) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

9^x + 8 ∙ 3^x+1 - 81 = 0 или x - 81 = 0

(3²)^x + 8∙3∙3^x - 81 = 0 x = 81

(3^x)² + 24∙3^x - 81 = 0

Решаем данное уравнение методом замены

3^x = t , t > 0

t² + 24t - 81 = 0

D = b² - 4∙a∙c = 24² - 4∙1∙(-81) = 576 + 324 = 900

t₁ = = = 3

t₂ = = = -22 – не удовлетворяет условие (t > 0)

3^x = 3

Когда степени равны, то и их показатели равны

x = 1

Сумма корней уравнения

81 + 1 = 82

Ответ: 82.

Заключение

Итак, я рассмотрела некоторые приемы и способы решения показательных уравнений из сборника ЦТ по математике, и сделала вывод, что показательные уравнения на ЦТ решаются теми же способами, что и в школьном курсе:

1. Приведением к одному основанию.

2. Разложением на множители.

3. Метод почленного деления.

4. Метод введения новой переменной.

5. Использование свойств функций при решении показательных уравнений.

6. Способ группировки.

7. Однородные уравнения.

Моё исследование подтвердило первоначальную гипотезу: общие методы решения показательных уравнений есть, их можно классифицировать. Да, я могу сказать, что научилась решать показательные уравнения, но я не собираюсь останавливаться на этом. У меня ещё есть время для того, чтобы наработать опыт решения таких заданий. Моя работа может служить методическим материалом для факультативных занятий в 11 классе по подготовке к ЦТ и выпускному экзамену по математике.

От данной работы я получила большое удовольствие и много полезной для себя информации, что позволило выработать практические советы выпускникам, составить тренажёр для самостоятельного решения показательных уравнений и создать памятку по способам решений показательных уравнений.

Кроме того полученные материалы могут использоваться при прохождении соответствующей темы в школьном курсе математики.

Список использованной литературы

1. Алгебра: вучэбны дапаможнік для 11 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання / А.П. Кузняцова [і інш.] ; пад рэдакцыяй прафесара Л.Б. Шнэпермана. – Мінск : Народная асвета, 2013;

2. Алгебра 11. Самостоятельные и контрольные работы: тестовые задания: в 4 вариантах (в двух частях): пособие для учителей учреждений общего среднего образования с русским (белорусским) языком обучения / Е.П. Кузнецова и др. – Минск: Аверсэв, 2013, 2014

3. Уроки математики в 10 – 11 классах: пособие для учителей учреждений общего среднего образования с белорусским и русским языками обучения / Т.А.Адамович [и др.]; под ред. И.Г. Арефьевой, Н.В. Костюкович. – Минск: Аверсэв, 2016.

4. Сборник задач по алгебре для 11 класса: пособие для общеобразовательных учреждений с русским (белорусским) языком обучения / Е.П. Кузнецова и др. – Минск: НИО, 2011.

5. Зборнік задач па алгебры: вучэбны дапаможнік для 11 класа агульнаадукацыйных ўстаноў з беларускай мовай навучання / А.П.Кузняцова і інш. – Мінск: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2011.

6. Математика: пособие-репетитор для подготовки к централизованному тестированию / И. Г.Арефьева-3-е изд. Минск: Аверсэв,2012.

7. Повторяем математику за курс средней школы: тестовые задания для 11 класса: пособие для учащихся учреждений общего среднего образования с русским языком обучения/И.Г. Арефьева:-2-е изд.–Минск: Аверсэв, 2016

Приложение 1