Тема 2. Независимые события. Условные вероятности.

Задача 1. Два признака А и В независимы. Вероятность встретить признак А у случайно выбранного респондента равна 0,6, а вероятность встретить признак В равна 0,8. Найти вероятность того, что у случайно выбранного респондента обнаружатся оба признака одновременно?

Задача 2. Два признака А и В независимы. Вероятность встретить признак А у случайно выбранного респондента равна 0,6, а вероятность встретить признак В равна 0,8. Найти вероятность того, что у случайно выбранного респондента обнаружится признак А, но не обнаружится признак В.

Задача 3. Два события А и В независимы. . Чему равна вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из этих событий?

Задача 4. Два признака А и В независимы. Вероятность встретить признак А у случайно выбранного респондента равна 0,2, а вероятность встретить признак В равна 0,6. Какова вероятность того, что у случайно выбранного респондента обнаружится только один из этих признаков?

Задача 5. Правильную игральную кость бросили 2 раза. Событие А состоит в том, что суммарное число очков меньше 5. Событие В – при первом броске выпала шестёрка. Являются ли события А и В независимыми?

Задача 6. Правильную игральную кость бросили 2 раза. Событие А состоит в том, что при первом броске выпало чётное число очков. Событие В – при втором броске выпало нечётное число очков. Являются ли события А и В независимыми?

Задача 7. Из колоды карт (их всего 52) случайным образом вытянули одну карту. Являются ли независимыми следующие события А и В: событие А – карта бубновой масти; событие В – король?

Задача 8. Правильную игральную кость бросили 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 4 при условии, что во втором броске выпало нечётное число очков.

Задача 9. Условная вероятность встретить у респондента признак А при условии, что у него обнаружился признак В, равна 0,7 ( т.е.P(A|B)=0,7). Известно, что одновременно признаки А и В встречаются у 40% респондентов. Какова вероятность встретить у случайно выбранного респондента признак В?

Задача 10. Вероятность того, что ноутбук безотказно прослужит более 5 лет рана 0,7. Вероятность того, что ноутбук безотказно прослужит более 10 лет равна 0,3. Какова вероятность того, ноутбук, проработавший 5, проработает и 10 лет?

Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Задача 1. Вероятность совершения ошибки опытным операционистом банка при осуществлении стандартной операции равна 0,05, а вероятность совершения ошибки неопытным операционистом банка равна 0,15. В банке 80% опытных операционистов. Какой процент ошибок совершается в банке при осуществлении стандартных операций?

Задача 2. Некоторый кандидат баллотируется в областную думу по 2-м избирательным округам, находящимся в разных населённых пунктах, в которых он имеет разную степень популярности. Вероятность того, что он будет избран в первом населённом пункте, равна 0,4, во втором – 0,8. Предполагая. Что из всего числа участвовавших в голосовании избирателей в 1-ом населённом пункте проживает 40% избирателей, найдите вероятность того, что этот кандидат будет избран в областную думу.

Задача 3. На некотором предприятии вероятность брака равна 0,05. При контроле продукции этого предприятия совершаются ошибки: с вероятностью 0,01 бракованное изделие признается годным и с вероятностью 0,02 годное изделие признается бракованным. Случайно выбранное изделие было проконтролировано и признано бракованным. Какова вероятность, что это изделие годное?

Задача 4. В автомагазин поступают термостаты от трёх производителей, в количествах, которые находятся в пропорции 1:3:4 соответственно. На первом предприятии брак составляет 5%, на втором — 7%, на третьем — 4%.

1) Какой процент бракованных термостатов в автомагазине?

2) Если случайно выбранный в магазине термостат бракованный, то какова вероятность того, что он изготовлен на втором предприятии?

Задача 5. Среди студентов факультета 40% активно участвуют на семинарских занятиях по математике. Вероятность получить отличную оценку по математике студенту, который активно участвуют на семинарских занятиях по математике, равна 0,8. Вероятность получить отличную оценку по математике студенту, который не активен на семинарских занятиях по математике, равна 0,1.

1) Какой процент отличников по математике на факультете?

2) Предположим, что случайно выбранный студент – отличник. Какова вероятность того, что он не был активным на семинаре?

Задача 6. Компания по страхованию автомобилей подразделяет водителей на 3 класса:

Класс А (мало рискует), класс B (средне рискует), класс C (сильно рискует). Предположим, что количества застрахованных в этой компании относятся в классах А,В,С как 2:4:1. Вероятность водителю, отнесённому к классу А, попасть в аварию в течение года равна 0,01; отнесённому к классу В – 0,03; а отнесённому к классу С – 0,1.

1) Какой процент водителей, застрахованных в этой компании, попадает в аварию в течение года?

2) Предположим, что некоторый застрахованный в этой компании водитель попадает в аварию в течение года. Какова вероятность того, что он относится к классу С?