Часть 1. Элементы теории вероятностей

Тема 1. Пространство элементарных исходов. События. Действия с событиями. Вероятности событий. Вычисление вероятностей с применением элементов комбинаторики.

Задача 1. Монету бросили 3 раза. Событие А – решка выпала только один раз. Событие В – выпало не менее одного орла. Найдите

Задача 2. Правильную монету бросают до появления орла или до трёх решек. Выпишите пространство элементарных исходов. Сколько в нем элементов? Какие вероятности следует приписать этим элементарным исходам?

Задача 3. Инвестиционный портфель состоит из двух ценных бумаг. Ежедневно фиксируется биржевая стоимость каждой из этих бумаг на момент закрытия биржи.

1) Опишите пространство элементарных исходов.

2) Опишите (изобразите) событие А: завтра цены на обе ценные бумаги повысятся.

3) Опишите (изобразите) событие В: завтра цены хотя бы на одну ценную бумагу повысятся.

Задача 4. Запишите, используя операции с событиями, что из двух событий А и В произошло только А.

Задача 5. Запишите, используя операции с событиями, что из трёх событий А , В и C произошли ровно два

Задача 6. Социологи, психологи, политологи, медики часто интересуются сочетанием у обследуемых тех или иных характеристик. Обозначим их через А и В. Пусть характеристика обозначает мужской пол, а характеристика В – наличие высшего образования.

1) Сформулируйте словами, кто составляет следующие подмножества обследуемых

а)

б)

в)

2) Запишите, используя операции с событиями, следующие подмножества обследуемых:

а) женщины без высшего образования

б) женщины с высшим образованием и мужчины без высшего образования

в) мужчины и женщины без высшего образования

Задача 7. Преподаватель составляет контрольную работу, в которую входит по одной задаче из 5-ти различных тем (всего 5 задач). По каждой из этих тем у него существует 3 различных задачи. Сколько различных вариантов контрольной работы может составить преподаватель? (Варианты различны, если у них есть различные задачи хотя бы по одной теме).

Задача 8. Сколькими различными способами из группы 9-ти девушек и 5-ти юношей можно выбрать 3-х студентов так, чтобы среди них была одна девушка и двое юношей? (Порядок выбора не учитывать.)

Задача 9. На курсе некоторого факультета университета 6 групп. Сколькими способами можно распределить преподавание в этих группах между 3-мя преподавателями, если каждый из них должен получить 2 группы?

Задача 10. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , в которых цифра 2 следует непосредственно за цифрой 1?

Задача 11. Тест состоит из 20 вопросов, на каждый из которых предложено 3 варианта ответа. Каждый вариант ответа на вопрос оценивается в нуль, один или два балла. Для подведения итогов теста вычисляется сумма баллов по всем данным ответам.

1) Сколько различных комбинаций ответов существует в этом тесте?

2) Сколько различных комбинаций ответов приводит в сумме к 39 баллам?

3) Сколько различных комбинаций ответов приводит в сумме к 38 баллам?

4) Сколько различных комбинаций ответов приводит в сумме к 37 баллам?

Задача 12. Игральную кость бросают 2 раза. Вычислите вероятности событий:

1) выпал дубль

2) на каждой кости выпало чётное число очков

3) на первой кости выпало больше очков, чем на второй.

Задача 13. В некотором эксперименте вероятность события А равна 0,7, а вероятность события В равна 0,4. Являются ли события А и В несовместными?

Задача 14. Какова вероятность того, что при бросании правильной игральной кости 3 раза номера всех выпавших граней будут различными?

Задача 15. Какова вероятность того, что при бросании правильной игральной кости 3 раза мы с каждым разом получаем грань с большим числом очков?

Задача 16. Правильную игральную кость бросают 3 раза. Вычислите вероятность того, что сумма очков меньше 6.

Задача 17. Пусть А и В – две противоположные вершины квадрата со стороной 1 см. В квадрате случайным образом выбираем точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до каждой из этих двух противоположных вершин меньше 1 см.?

Задача 18. На предприятие поступила партия из 12 труб, среди которых 2 трубы бракованные. Предприятие осуществляет выборочный контроль 3-x труб. Какова вероятность того, что хотя бы 1 бракованная труба будет проконтролирована?

Задача 19. В урне находится 100 лотерейных билетов, среди которых 5 выигрышных. Первый подошедший к урне вынимает из неё 3 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышный?

Задача 20. Среди 8-ти кандидатов в мэры некоторого города 3 кандидата состоят в КПРФ, а 5– в ЕР. Для участия в дебатах было отобрано случайным образом 2 кандидата. Какова вероятность того, что хотя бы один из них состоит в ЕР?

Задача 21. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова “программа”?

Задача 22. В каждой из 3-х коробок находятся ручки одного цвета. В разных коробках цвет ручек разный. Сколько существует различных вариантов выбора 7 ручек? (Варианты отличаются количеством ручек разного цвета.)