Задача 2

По трем разным акциям А, В, С рассчитать соответствующий коэффициент корреляции и риск портфеля этих акций. Данный к задачи придумать свои, так чтобы риск портфеля акций был минимальным. Пример решения приведен ниже.

Таблица 3.1.

Исходные данные.

Состояние экономики	Вероятность	Норма прибыли акции, %
		А	В	С
Значительное повышение	0,1	16	32	8
Незначительное повышение	0,2	14	16	7
Стагнация	0,3	7	12	10
Незначительная рецессия	0,3	0	2	12
Значительная рецессия	0,1	-11	1	14

1. Определение коэффициента корреляции.

Первоначально необходимо вычислить ожидаемые нормы прибыли по акциям, формула:

_n

m=  P_iR_i , где

ⁱ⁼¹

P_i – вероятность i-й величины нормы прибыли (i=i,n);

R_i – i-е возможное значение нормы прибыли (i=i,n);

n – количество возможных для наблюдения величин норм прибыли.

m₁ = 0.1*16+0.2*14+0.3*7+0.3*0+0.1+(-11) = 5,4 %;

m₂ = 0.1*32+0.2*16+0.3*12+0.3*2+0.1*1 = 10,7 %;

m₃ = 0.1*8+0.2*7+0.3*10+0.3*12+0.1*14 = 10,2 %;

Теперь произведем вычисление среднеквадратичного отклонения норм прибыли акций:

_T

 =   P_i(R_i-m)²

ⁱ⁼¹

Предварительные расчеты приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Предварительные расчеты

R1t-m1	R2t-m2	R3t-m3	(R1t-m1)2	(R2t-m2)2	(R3t-m3)2	(R1i-m1)* (R2i-m2)	(R1i-m1)* (R3i-m3)	(R2i-m2)* (R3i-m3)
10,6	21,3	-2,2	112,36	453,69	4,84	225,78	-23,32	-46,86
8,6	5,3	-3,2	73,96	28,09	10,24	45,58	-27,52	-16,96
1,6	1,3	-0,2	2,56	1,69	0,04	2,08	-0,32	-0,26
-5,4	-8,7	1,8	29,16	75,69	3,24	46,98	-9,72	-15,66
-16,4	-9,7	3,8	268,96	94,09	14,44	159,08	-62,32	-36,86

По имеющимся предварительным расчета рассчитаем среднеквадратичное отклонение норм:

₁ = 0,1*112,36+0,2*73,96+0,3*2,56+0,3*29,16+0,1*268,96 =7,9%;

₂ = 9,14 %;

₃ = 2,23 %;

Чем выше коэффициент среднеквадратичного отклонения, тем выше степень риска данной акции.

Следующим этапом произведем расчет корреляции, между нормами прибыли двух акций :

_n

_k,L =  P_i(R_ki-m_k)(R_Li-m_L)/ _к _L, где

ⁱ⁼¹

К, L – номера акций.

= 0,1*225,78+0,2*45,58+0,3*2,08+0,3*46,98+0,1*159,08 = 62,32;

коэффициент корреляции акций А и В _1,2 = 62,32/(7,9*9,14) = 0,86;

= 0,1*(-23,32)+0,2*(-27,52)+0,3*(-0,32)+0,3*(-9,72)+0,1*(-62,32) = -17,08;

_1,3 = -17,08/(7,9*2,23) = -0,97 (А и С);

= -16,54;

_2,3 = -16,54/(9,14*2,23) = -0,81 (В и С).

Знаки «+», «-» определяют характер взаимосвязи акций между собой.

2. Определим риск портфеля акций используя формулу:

_{n n n}

V_p =  x_i² _i² +   x_i x_j _i _j _ij , где

^{i=1 i=1 j=1}

^ij

x_i – доля акции в портфеле;

_i – степень риска акции;

_ij – коэффициент корреляции между акциями.

Состав акций в портфеле приведен в таблице 3.3.

Таблица 3.3.

Состав портфеля.

Вид акции	А	В	С	Сумма
Число акций	26	63	51	140
% акций в портфеле (хi)	18,6	45,0	36,4	100

Таблиц 3.4.

Предварительный расчет.

x1212	x2222	x3232	Сумма	x1 x2 1 2 1,2	x1 x3 1 3 1,3	x2 x3 2 3 2,3	Сумма
2,15	16,93	0,66	19,74	5,21	-1,16	-2,71	1,34

V_p = 19.74+1.34 = 21,08

Полученный портфель имеет достаточно невысокий уровень риска.