2.2. Характеристически простые группы и их строение

Определение 1.1.3. Пусть - группа. Подгруппа группы называется характеристической и обозначается , если , . (Так как – биекция, то в этом случае ).

Теорема 2.2.1. Пусть G – конечная характеристически простая группа. Тогда G есть прямое произведение изоморфных простых групп.

Доказательство.

Пусть G – характеристически простая группа. Рассмотрим 2 случая:

а) Если G – простая группа, то G = G – прямое произведение изоморфных простых групп, состоящее из одного множителя.

б) Пусть G не является простой группой, следовательно, в ней существуют нормальные подгруппы. Пусть . Так как G - характеристически простая, то N не характеристична в G. Следовательно, , такое что

Покажем, что , т.е. покажем, что (опр.1.1.7).

Если элемент x пробегает всю группу G, то и элемент пробегает всю группу G. Следовательно, достаточно показать, что : .

Следовательно, .

Так как и , то .

Так как , то:

а) или б) .

а) Пусть и т.к. , то , что невозможно.

Следовательно, , поэтому можно рассмотреть подгруппу ( , , ).

Далее, возможно, что существует , т.ч. и . Тогда, проводя аналогичные рассуждения, можно получить, что и , то можно рассмотреть подгруппу .

Пусть – прямое произведение подгрупп группы G, изоморфных N и не совпадающих с N, причем M – наибольшая такая подгруппа. Тогда, (либо , либо и тогда = некоторому множителю из оставшихся в M).

Кроме того, . Следовательно,

Таким образом, G является прямым произведением изоморфных групп.

Допустим, что N не является простой группой .

Так как и , то , что противоречит минимальности N. Следовательно N – простая.

Таким образом, G – прямое произведение изоморфных простых групп.

Теорема доказана.

2.3. Строение минимальных нормальной подгрупп конечной группы

Определение 1.1.8. Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка р.

Теорема 2.3.1. Пусть и . Тогда K — про­стая подгруппа и существуют элементы такие, что . Кроме того:

1. если N абелева, то для некоторого простого р и N — элементарная абелева р-группа;

2. если N неабелева, то каждая минимальная нормальная в N подгруппа принадлежит множеству .

Доказательство. Пусть и . Ясно, что L является нормальной подгруппой группы G. Так как для всех , то , поэтому . Поскольку — минимальная нормальная подгруппа в N, то по лемме 1.2.4. существуют элементы такие, что . Из леммы 1.2.1 следует что подгруппа K простая.

1. Пусть N абелева. По теореме 6.5, с. 63, подгруппа K имеет простой порядок. Пусть . Тогда N — элементарная абелева p-группа порядка .

2. Пусть N неабелева. По теореме 1.2.3. каж­дая минимальная нормальная в N подгруппа принадлежит множеству .

Следствие 2.3.1. Минимальная нормальная подгруппа группы является характеристически простой группой.

Следствие 2.3.2. Минимальная нормальная подгруппа группы либо элементарная абелева р-группа для неко­торого простого р, либо является прямым произведе­нием изоморфных простых неабелевых групп. □

Лемма 2.3.1. Пусть , . Если , , то существуют элементы такие, что .

Доказательство.

Так как для любого , то . Полагая из леммы 1.2.4. для группы H и ее нормальной подгруппы N получаем, что существуют элементы такие, что .