Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г.ПЕТРОВСКОГО»

(БГУ)

Естественно-научный институт

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Реферат

«Минимальные нормальные подгруппы конечных групп»

Выполнила:

магистрант 1 курса 2 группы

направления 01.04.01 «Математика»

Кочергина А.Н.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Сорокина М.М.

СОДЕРЖАНИЕ

Y

Введение 3

Глава 1. Предварительные сведения 5

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе 5

1.2. Используемые результаты 7

Глава 2. Минимальные нормальные подгруппы конечных групп 9 Введение

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом.

Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями.

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века стала полная классификация простых конечных групп — результат совместных усилий многих математиков.

Реферат посвящен исследованию минимальных нормальных подгрупп конечных групп и имеет следующую структуру: введение, две главы, заключение и список литературы. В первой главе «Предварительные сведения» изложены определения, обозначения и результаты, используемые в работе. Основное содержание работы представлено во второй главе «Минимальные нормальные подгруппы конечных групп». Здесь рассмотрены минимальные нормальные подгруппы в группе, их строение и основные свойства. В основе исследований лежит книга В.С. Монахова «Введение в теорию конечных групп и их классов». [7]

Глава 1. Предварительные сведения

В реферате рассматриваются только конечные группы.

1. Определения и обозначения, используемые в работе

Рассмотрим некоторые основные определения и обозначения, принятые в [7].

Определение 1.1.1. Группа G называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов.

Определение 1.1.2. Неединичная группа называется простой, если она не содержит нетривиальных нормальных подгрупп.

Определение 1.1.3. Пусть - группа. Подгруппа группы называется характеристической и обозначается , если , . (Так как – биекция, то в этом случае ).

Определение 1.1.4. Конечная группа называется характеристически простой, если не имеет собственных характеристических подгрупп. (В нет , т.ч. ).

Определение 1.1.5. Минимальной нормальной подгруппой группы G называ­ют такую нормальную подгруппу N группы G, что N≠E и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп группы G.

Запись означает, что N — минимальная нормаль­ная подгруппа группы G.

Определение 1.1.6. Цоколем группы G называется подгруппа, являюща­яся произведением всех минимальных нормальных под­групп группы G. Цоколь группы G обозначают через SocG. Таким образом,

Определение 1.1.7. Подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой и обозначается , если , .

Определение 1.1.8. Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка р.

Определение 1.1.10. Группа удовлетворяющая трём условиям:

1. 

2. 

3. 

называется внутренним прямым произведением подгрупп и обозначается