Работа постоянной силы

Так как ,то по свойствам интегрирования

(64)

РАБОТА ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ РАВНА СКАЛЯРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ СИЛЫ НА ПОЛНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛЫ.

Кроме того, отметим, что РАБОТА ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛЫ, А ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ТОЛЬКО ЕЁ НАЧАЛЬНЫМ И КОНЕЧНЫМ ПОЛОЖЕНИЯМИ или РАБОТА ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ РАВНА СКАЛЯРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ СИЛЫ НА ПОЛНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛЫ В НАПРАВЛЕНИИ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ.

Работа упругой силы

УПРУГАЯ СИЛА – это сила, прямо пропорциональная относительному смещению некоторых двух материальных точек. Коэффициент пропорциональности при этом называется ЖЁСТКОСТЬ

где с – жесткость;

x – относительное смещение (деформация).

Жесткость пружины – это сила, которую надо приложить к пружине, чтобы деформировать ее на единицу длины.

Работа пружины может быть определена

(65)

где х₀ – начальное относительное смещение;

x₁ – конечное относительное смещение.

РАБОТА УПРУГОЙ СИЛЫ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПОЛОВИНЫ ЖЕСТКОСТИ ТЕЛА НА РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОНЕЧНОГО И НАЧАЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ.

Работа силы, приложенной к вращательному телу

Допустим некоторое тело вращается вокруг оси z-z под действием силы (рис. 7). Спроектируем эту силу на любую плоскость, перпендикулярную оси вращения, получим проекцию F_. Поскольку точка приложения силы может двигаться только по дуге окружности, то её элементарное перемещение можно принять равным dS, где S – длина дуги траектории. Тогда

Рис. 7.

Как известно из геометрии длина дуги окружности равна произведению радиуса на центральный угол, тогда Кроме того, произведение силы на плечо равняется моменту силы, поэтому

(66)

Если момент силы постоянен, то

РАБОТА СИЛЫ, СОЗДАЮЩЕЙ ПОСТОЯННЫЙ МОМЕНТ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА, РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭТОГО МОМЕНТА НА УГОЛ ПОВОРОТА ОТ НАЧАЛЬНОГО ДО КОНЕЧНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ТЕЛА.

Работа силы трения скольжения

Если тело совершает поступательное перемещение, то работа определяется по формуле (65).

Если тело вращается, а сила трения приложена не на оси вращения, то по формуле (68).

Если тело катится без проскальзывания, то работа силы трения равна нулю, поскольку мгновенный центр скоростей будет находиться в этом случае в точке приложения силы трения, т.е. эта точка в любой момент времени будет мгновенно неподвижна и, следовательно, работа не совершается.

ТЕОРЕМА Д15 (третья основная теорема динамики). Изменение кинетической энергии механической системы равняется сумме работ всех сил, действующих на эту систему.

Доказательство. Рассмотрим произвольную механическую систему. Она состоит из конечного числа материальных тел. На основании аксиомы Д2 разобьем каждое тело системы на материальные точки. Пусть всего получено n таких точек. Для каждой i-ой точки, сделав замену (13), можем написать уравнение движения в виде

Воспользовавшись известной формулой дифференцирования , внеся под знак дифференцирования как константу массу точки и перебросив знаменатель из левой части в правую, получим

С учетом сделанных определений (58) и (62) можем записать

Просуммируем полученное выражение по всем точкам механической системы, получим

Воспользовавшись свойствами суммирования и дифференцирования, согласно определения кинетической энергии системы

или (67а)

Проинтегрировав это выражение, получим

(67б)

Выражение (67а) называют дифференциальной формой теоремы, а (67б) – интегральной. На практике можно пользоваться любой из этих формулировок в зависимости от того, что дано по условию задачи и что требуется определить.

Неизменяемая механическая система

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА называется НЕИЗМЕНЯЕМОЙ, если относительные смещения тел, входящих в систему, отсутствуют.

Поскольку относительные смещения внутри системы отсутствуют, то тогда отсутствует работа внутренних сил и теорема Д15 формулируется следующим образом.

Следствие 1. Изменение кинетической энергии неизменяемой механической системы равняется сумме работ всех внешних сил, приложенных к системе

(68)