Уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат

Рассмотрим движение материальной точки.

Пусть на нее действуют силы . Так как речь идет о материальной точке, то эти силы обязательно будут сходящимися, и на основании теоремы С2 их всегда можно заменить равнодействующей

i = 1,…n.

На основании аксиомы Д4 имеем

Как известно из кинематики, , где векторный закон движения материальной точки (КИНЕМАТИКА стр. 3), тогда

(1)

Если перейти к проекциям, то получим систему дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих поведение материальной точки вдоль каждой из осей координат

(2)

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ДВИЖЕНИЕ точки будет ОДНОМЕРНЫМ, если для его описания достаточно одной оси координат. Очевидно, что в этом случае траектория будет прямой линией.

Выбираем систему координат так, чтобы ось Х совпала с траекторией движения. Тогда движение точки может быть описано уравнением

(3)

где F_x – сумма проекций всех сил на ось Х.

Масса m величина постоянная, а сила F_x – величина переменная, зависящая от многих факторов. Здесь будут рассматриваться только те силы, которые могут зависеть от времени, скорости и координат положения точки приложения силы

При решении и прямой, и обратной задач динамики используется уравнение (3). Решая прямую задачу, приходится выполнять операцию дифференцирования, а при решении обратной задачи – операцию интегрирования. Поскольку реальные законы движения и скорости материальных точек являются гладкими непрерывными функциями, то дифференцирование всегда осуществимо и, следовательно, прямая задача всегда может быть решена аналитически. А вот проинтегрировать можно далеко не всякую даже гладкую функцию, поэтому обратную задачу не всегда можно решить аналитически, во всяком случае ее решение сильно зависит от особенностей действующих сил.

Кроме того, операция интегрирования выполняется с точностью до константы, поэтому уравнение (3) необходимо дополнять начальными условиями. В ЛЮБОЙ ЗАДАЧЕ МЕХАНИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СЧИТАЮТСЯ ЗАДАННЫМИ. ЕСЛИ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ЗАДАНИИ ОТСУТСТВУЮТ, ТО МОЖНО САМОМУ ПРИНЯТЬ ЛЮБЫЕ ЗНАЧЕНИЯ.

Рассмотрим подробнее, как следует подходить к решению обратной задачи динамики при действии различных сил.

а) постоянная сила F_x=F₀=const

Тогда из (3) следует

(4)

Переменные можно считать разделенными в этом уравнении (переменные t и х), поэтому его можно проинтегрировать. Получим последовательно

(5)

где V₀=const – константа интегрирования (фактически - начальная скорость материальной точки).

В полученном выражении переменные остаются разделенными, поэтому его можно еще раз проинтегрировать и получить закон движения

(6)

где х₀=const – константа интегрирования (фактически - начальная координата материальной точки).

Таким образом, получены в самом общем виде выражения характеристик движения материальной точки (4)-(6) при действии постоянной силы.

б) Сила зависит от времени F_x=F(t)

Тогда имеем из (3)

(7)

Так как это уравнение с разделенными переменными, его можно дважды проинтегрировать

(8)

(9)

При действии силы, зависящей от времени, движение материальной точки описывается уравнениями (7)-(9).

в) Сила зависит от скорости

Из (3) имеем

(10)

Выполним фактически замену переменных ; . Тогда уравнение (10) примет вид

После разделения переменных

,

полученное выражение можно интегрировать

(11)

где С₀ – константа интегрирования.

Выражение (11) представляет собой неявную зависимость скорости от времени. Далее после интегрирования следует из полученного выражения выразить скорость и еще раз проинтегрировать.

г) Сила зависит от координат

Тогда имеем из (3)

(12)

Уравнение интегрировать пока нельзя, так как в нем не разделены переменные. Сделаем замену переменных как в предыдущем разделе и, кроме того, учтем, что

(13)

Подставив все это в выражение (12), получим

Разделим переменные

Теперь, проинтегрировав, получим

(14)

Полученное выражение представляет собой неявную зависимость скорости точки от ее координат. Если далее вернуться к переменной х и разделить переменные, получим

Проинтегрировав еще раз, получим

(15)

где С₁ – константа интегрирования.

Уравнение (15) в неявном виде описывает зависимость координат точки от времени.

При решении обратной задачи динамики материальной точки необходимо обращать внимание на характер действующих сил и в связи с этим выбирать соответствующий путь решения задачи. Кроме того, необходимо учитывать, что именно требуется определить по условию задачи. Например, если в задаче требуется определить зависимость скорости от перемещения или положение точки, когда ее скорость будет иметь определенное значение, то независимо от действующих сил рационально будет использовать уравнение (14).