Решение:

Поскольку 31∙12=372, то Мария могла родиться 31 декабря. Заметим, что число 372 получается, если номер числа и номер месяца максимально возможные, значит, в остальных случаях получится меньше, чем 372.

Ответ: 31 декабря.

Баллы	Критерии
7	Задача решена верно.
6	Задача решена, но нет доказательства, что это единственный вариант.
5	Решение содержит подбор произведений двух чисел, найдена нужная пара чисел.
4	Задача решена в целом, но содержатся вычислительные ошибки, нет доказательства единственности решения.
3	Записан верный ответ и выполнена проверка.
2	Задача не решена, но ученик записал верный ответ.
1	Решая задачу, допущены ошибки в условии (искал произведение числа, месяца и года рождения – двузначного числа).
0	Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

Ответ к задаче № 3: На доске написано число. Операция X добавляет единицу к написанному числу, операция Y увеличивает его в два раза. Таким образом, например, последовательность операций YXX превратит число 2 в 6. Какая кратчайшая последовательность операций превратит число 1 в 20?

Решение:

I способ. 20=(((1+1)∙2+1)∙2)∙2, получим последовательность операций ХYХYY.

II способ. 20=((1∙2∙2+1) ∙2)∙2, получим последовательность операций YYXYY.

Мы воспользовались тем, что

20= 1∙ 5 ∙4 и представленные способы с самыми короткими последовательностями данных операций, но уже другое представление числа 5, например, 20= (1+1+1+1+1)∙ 2 ∙2 не устраивает по количеству операций.

Варианты другого представления числа 20 приведут к большему числу операций, чем 5:

20= 1∙ 10∙ 2, то есть 20= (1 ∙2 ∙2 ∙2+1+1) ∙ 2

Ответ: ХYХYY, YYXYY.

Баллы	Критерии
7	Задача решена верно.
6	Задача решена, но нет доказательства, что только два варианта.
5	Одно решение верное, а во втором - ошибка с последовательностью операций.
4	Приведён один правильный ответ, а другой получен с вычислительными ошибками.
3	Записан один верный ответ.
2	Задача не решена, но ученик привёл математические действия для получения числа 20, не с единички начаты примеры.
1	Задача не решена, приведена последовательность операций, не приводящая к ответу - число 20 не получено.
0	Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

Ответ к задаче № 4: В галактике Кин-Дза-Дза живут пацаки и чатлане. У них принято говорить правду, если в помещении присутствуют представители обеих рас, и врать среди своих. Собрались в комнате трое жителей галактики. Первый сказал: «Я пацак», и вышел из помещения. Второй сказал: «А я чатланин». Определите, кем является каждый из них. Не забудьте объяснить, почему другие варианты невозможны.

Решение:

1) Допустим, что первый - чатланин. Тогда он соврал, а значит, вначале в комнате находились только чатлане. Но тогда и второй должен был соврать третьему (поскольку они одной расы), а значит, второй не мог сказать, что он чатланин. Противоречие. Значит, на самом деле первый – пацак.

2) Если второй – чатланин, то получается, что он сказал правду. Это означает, что третий был пацаком. Этот вариант подходит: в этом случае, когда и первый, и второй должны сказать правду; что они и сделали.

3) Если второй – пацак, то получается, что он соврал. Это означает, что третий тоже пацак. Но в таком случае в комнате с самого начала были три пацака, и первый должен был соврать, а он сказал правду. Противоречие.

Ответ: первый – пацак, второй – чатланин, третий– пацак.

Баллы	Критерии
7	Задача решена верно.
6	Задача решена, в обосновании незначительные ошибки.
5	Записан верный ответ, есть проверка, в обосновании допущены ошибки или неточности.
4	Записан верный ответ и есть проверка.
3	Записан верный ответ, но нет обоснования.
2	Задача не решена, но указаны два жителя планеты верно.
1	Задача не решена, но указан один из жителей планеты верно.
0	Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

Ответ к задаче № 5: В клетках таблицы 5x7 расставлены числа 1, 2 и 3, так, что в любом квадрате 2x2 есть все три различных числа. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел во всей таблице?

Решение: