Задача №2

Определить структуру гармонического электромагнитного поля в плоском диэлектрическом волноводе (световоде), изображённом на рис.3. Известны комплексные амплитуды двух проекций векторов поля в средах 1 и 2 при х≥0 (таблица 4). Параметры световода приведены в таблице 5.

Потери в диэлектриках сред отсутствуют.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ №2

Для решения задачи следует проработать раздел 10.7 в [1]. Алгоритм решения задачи рекомендуется следующим.

1. Определяются комплексные амплитуды всех остальных проекций у векторов и в средах 1 и 2 при х≥0.

2. Составляются и совместно решаются уравнения, которые связывают между собой неизвестные поперечные волновые числа в средах 1 и 2, т.е. и .

3. Определяются минимальная и максимальная толщины световода, при которых по нему будет распространяться только волна низшего типа.

4. Для средней толщины световода вычисляются параметры для волны низшего типа, т.е. , ,β и .

5. Используя заданную величину единичной мощности волны либо в среде 1, либо в среде 2, т.е. и , определяют амплитуды А и В, входящие в выражения для всех проекций векторов и .

6. Строятся зависимости амплитуд всех проекций векторов и от координаты х в области х≥0.

7. Учитывая симметрию световода относительно оси z, характер построенных зависимостей следует распространить на область х≤0.

8. Изображается структура линий векторов для волны низшего типа в сечении x0z.

Таблица 4

Последняя цифра номера студ. билета	Известные проекции векторов в среде 1	Известные проекции векторов в среде 2	Дополнительные сведения
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Таблица 5

Параметр	Предпоследняя цифра студенческого билета
	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
	2,3	2,25	2,6	2,5	2,9	2,5	2,4	2,8	2,4	3
	1,1	1	1,3	1,2	1,4	1,2	1,1	1,4	1,2	1,5
λ,мкм	1,3	1,6	1,3	1,3	1,3	1,55	1,5	1,55	1,55	1,2
	–	–	1	2	–	–	1,5	–	3,5	1,2
	1,5	1	–	–	0,5	2	–	3	–	–

Поясним решение основных пунктов задания.

Для выполнения пункта 1 надо записать уравнения Максвелла для гармонического поля и использовать далее следующее представление:

rot =

В результате два векторных уравнения преобразуются в шесть скалярных уравнений. Упростив их после подстановки вида

следует их решить.

Для выполнения пункта 2 следует записать граничные условия вида:

В этих соотношениях надо положить х=h. В результате получается два алгебраических уравнения, в которые входят неизвестные величины , и А,В. Исключив из этих уравнений величины А и В, получаем одно уравнение, в которое входят только неизвестные величины , . Это уравнение далее следует преобразовать, например, в такое:

Решение этого уравнения, которое является трансцендентным, в графической форме представлено на рис. 4 в виде двух сплошных кривых. Пунктиром изображены четверти окружностей, которые представляют собой уравнения следующего вида:

где, k=ω –волновое число в вакууме.

Наличие двух точек пересечения для верхней четверти окружности с двумя сплошными кривыми говорит о том, что в световоде распространяются два типа волны. Если, например, по заданию и , то это будут волны (точка 1) и (точка 2). Низшим типом является волна . Точка 3 соответствует максимальной толщине световода, точка 0–минимальной (нулевой) толщине световода. Точка 4 соответствует средней толщине световода.

Фазовая скорость волны определяется по формуле:

где коэффициент фазы вычисляется из любого соотношения, приведённого ниже:

Д

*

ля вычисления амплитуд А и В следует использовать значения единичных мощностей в таблице 5 и выражения для проекций векторов:

л

*

ибо