Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Л е к ц и я 5

СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Уравнения прямой на плоскости

1. Основные понятия.

2. Основные приложения метода координат на плоскости.

3. Линии на плоскости.

4. Уравнения прямой на плоскости.

5. Прямая на плоскости. Основные задачи.

1. Основные понятия.

Прямоугольную систему координат обозначают , а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости . Вектор называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат называются координаты радиуса-вектора . Если , то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется абсциссой точки М, у — ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса О и углом φ , образован­ным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведет­ся в направлении, противоположном движению часовой

Рис. 1 стрелки) (рис. 1).

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут , при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (или ) , а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы , а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и φ — ее полярные координаты.

Из рисунка 2 видно, что прямоугольные координа­ты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

. Рис 2.

, . Полярные же координаты точки М выражаются через декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

,

.

Определяя величину φ, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

2. Основные приложения метода координат на плоскости.

1) Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками и плоскости .

 Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора

, т. е.

. (1)