МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Преподаватель Студент группы

___________ /. / __________

___________

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является определение момента инерции твердых тел и экспериментальная проверка справедливости теоремы Штей­нера на примере физического маятника.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Д ля экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции в данной работе используется стандартная установка универсального маятника ФПМО - 4. Это настольный прибор (рис. 4.1), на вертикальной стойке основания 1 которого крепится кронштейн 2, который имеет возможность поворота вокруг стойки на 360 и фиксация в любом выбранном положении. С одной стороны кронштейна 2 подвешен математический маятник, а с другой - физический. Математический маятник представляет собой металлический шарик 3 на бифилярном подвесе 4. Физический маятник - стальной стержень 5, подвешенный на опорной призме 6. Опорная призма 6 может перемещаться по всей длине стержня и фиксироваться в требуемом положении.

Стержень 5 имеет кольцевые проточки, которые служат для надежной фиксации опорных призм. Установка снабжена фотоэлектрическим датчиком 7, который закреплен на вертикальной стойке с помощью кронштейна 8 и имеет возможность перемещаться как вдоль, так и вокруг стойки и фиксироваться в любом положении. Датчик предназначен для выдачи сигналов на миллисекундомер 9. Миллисекундомер физический выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средняя величина периода колебаний маятника:

T = t / n , (3.1)

где t - продолжительность 10  15 колебаний;

n - число колебаний за время t.

Формула для экспериментального расчета момента инерции прямого тонкого стержня

, (3.2)

где T - период колебаний маятника;

l - расстояние от центра масс до точки подвеса маятника;

m - масса маятника;

g - ускорение свободного падения.

Формула для теоретического расчета момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

I₀ = md²/12 (3.3)

Относительная погрешность:

(3.4)

Проверка теоремы Штейнера:

(3.5)

Определение величин а и b методом наименьших квадратов:

Момент инерции прямого стержня:

(3.8)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Результаты прямых и косвенных измерений представлены в таблице.

Таблица.

Данные измерений

Номер опыта	n	t, c	T, c	l2, м2	I, кгм2	Примечание
1	13	16,593	1,28	0,08	0,043	m = 358 г (t) =  2 мс (m) = 2%
2	12	14,906	1,24	0,06	0,035
3	14	16,969	1,21	0,04	0,028
4	11	13,281	1,21	0,03	0,022
5	11	13,657	1,24	0,02	0,018
6	12	16,156	1,35	0,008	0,015
7	12	20,093	1,67	0,003	0,013

По формуле (3.1) находим Т.

Центр масс находится в центре стержня, расстояние от торца до него 62 см:2 = 31 см = 0,31м

Рассчитываем l:

l₁=31см-2мс=0,29м

l₂=31-6=0,25м

l₃=31-10=0,21м

l₄=31-14=0,17м

l₅=31-18=0,13м

l₆=31-22=0,09м

l₇=31-26=0,05м

По формуле (3.2) рассчитываем момент инерции прямого тонкого стержня I:

I₂=0.035

I₃=0.028

I₄=0.022

I₅=0.018

I₆=0.015

I₇=0.013

По формуле (3.8) рассчитываем момент инерции прямого стержня:

Доверительные интервалы времени 2мс.

Доверительные интервалы l:

- погрешность измерения для каждой точки.

Доверительные интервалы I:

где

Е(I) – относительная погрешность.

расчет доверительных интервалов:

Г

b

0

0.07

0.04

I,кгм²

0.031

0.029

0.027

0.035

0.033

0.041

0.039

0.037

1

0.045

0.043

3

2

рафик I=f(l²):

0.06

0.05

0.03

0.02

0.01

0.09

0.08

l²,м²

0.03

0.01

0.017

0.015

0.013

0.011

0.07

0.05

0.023

0.025

0.021

0.019

0.09

5

4

6

7

Проверка теоремы Штейнера:

I=I₀+ml²

I₁=0.011+0.4^.0.08

I₁=0.043

I₂=0.011+0.4^.0.06

I₂=0.035

I=I₀+ml² y=b+ax

где а – угловой коэффициент

а=m

b=I₀=0.011кгм²

I₀ – собственный момент инерции маятника относительно оси, проходящего через его центр масс.

x=l²

y=I

Расчет момента I₀:

из опыта I₀=b=0.011кг^.м² => Результаты расчета и опыта одинаковы.

Проверка теоремы Штейнера: I=I₀+ml². С помощью данных, полученных из графика: I₀=b=0.011 кг^.м², m=a=0.4 кг для первого опыта l²=0.08 м², тогда I₁=0.011кг^.м²+0.4кг^.0.08м²=0.043кг^.м², расчетное значение I₁ полученное с помощью данных измерения по формуле полностью совпадает, т.к. I₁=0.043кг^.м²

Определение величин а и b методом наименьших квадратов по формулам (3.6) и (3.7):

Вывод: Результаты измерений, расчетов, сравнений и проверки, проведенных в данной лабораторной работе, полностью подтверждают справедливость уравнения Штейнера.

6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопросы:

1. Как формируются понятия инерции материальной точки и твердого тела?

2. В каких ситуациях применима теорема Штейнера?

3. Как формируется теорема Штейнера?

4. Под действием какой силы совершается колебательное движение маятника?

5. Является ли момент инерции аддитивной величиной?

6. Объяснить метод определения момента инерции с помощью физического маятника.

7. Какой маятник называется физическим?

8. При каких формальных допущениях справедлива формула ?

9. Как записывается основной закон динамики вращательного движения?

Ответы:

1. Момент инерции системы небольшого числа жестко связанных элементов, которые можно полагать материальными точками, находится суммированием произведений массы каждого элемента по отдельности на квадрат расстояния между элементом и осью вращения системы.

где m_i – масса МТ под номером i,

r_i – расстояние между i-ой МТ и осью вращения,

МТ – материальная точка.

В случае твердого тела эта сумма сводится к интегралу, где интегрирование производится по всему объёму тела:

где р – плотность вещества,

dv – дифференциал объёма доли, имеющий массу dm.

2. Теорема Штейнера применяется когда известен момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через центр масс и надо определить момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной.

3. Момент инерции I относительно производной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями: .

4. Силу тяжести маятика Р=mq можно разложить на две составляющие, одна из которых приводит маяник в движение.

Р₂ – сила, равная реакции подвеса

Р

О

О¹

О¹¹

Р₁

Р₂

Р=mq

₁ – сила, приводящая маятник в движение.

5. Момент инерции сплошных тел является аддитивной величиной, что позволяет при его вычислении использовать интегрирование .

6. В данной работе определяется момент инерции физического маятника. Это цилиндрический стальной стержень имеющий точку подвеса (опоры) относительно которой он совершает колебания.

7. Физическим маятником является любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через его центр масс.

8. Формула справедлива для малых углов отклонения, т.к. - это равенство выполняется только при малых углах отклонения.

9. На основании второго закона Ньютона для динамики вращательного движения , где М – момент вращающей силы, Е- угловое ускорение, l – расстояние от центра масс до точки подвеса маятника. Знак «минус» указывает на противоположное направление силы Р₁ отклонению маятника.

7 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соловьев И.В. Курс Общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учебное пособие для студентов ВТУов. М.: Наука, 1988. 432 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебники для студентов ВУЗов. М.: Высшая школа, 1985. 430с.

3. Рипп А.Г. Обработка результатов эксперимента: Методические указания. Томск: Томский институт АСУ и радиоэлектроники, 1979. 60с.