2 Лабораторная работа / 2-Лабораторная работа (Физика)_11 / Отчет по ЛР №2

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Преподаватель Студент группы

___________ / Васильев Н.Ф. / __________ / /

___________2004 г. 28 декабря 2004 г.

Томск 2004

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является определение момента инерции твердых тел и экспериментальная проверка справедливости теоремы Штей­нера на примере физического маятника.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Д ля экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции в данной работе используется стандартная установка универсального маятника ФПМО - 4. Это настольный прибор (рис. 4.1), на вертикальной стойке основания 1 которого крепится кронштейн 2, который имеет возможность поворота вокруг стойки на 360 и фиксация в любом выбранном положении. С одной стороны кронштейна 2 подвешен математический маятник, а с другой - физический. Математический маятник представляет собой металлический шарик 3 на бифилярном подвесе 4. Физический маятник - стальной стержень 5, подвешенный на опорной призме 6. Опорная призма 6 может перемещаться по всей длине стержня и фиксироваться в требуемом положении.

Стержень 5 имеет кольцевые проточки, которые служат для надежной фиксации опорных призм. Установка снабжена фотоэлектрическим датчиком 7, который закреплен на вертикальной стойке с помощью кронштейна 8 и имеет возможность перемещаться как вдоль, так и вокруг стойки и фиксироваться в любом положении. Датчик предназначен для выдачи сигналов на миллисекундомер 9. Миллисекундомер физический выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средняя величина периода колебаний маятника:

T = t / n , (3.1)

где t - продолжительность 10  15 колебаний;

n - число колебаний за время t.

Формула для экспериментального расчета момента инерции прямого тонкого стержня

, (3.2)

где T - период колебаний маятника; l - расстояние от центра масс до точки подвеса маятника; m - масса маятника; g - ускорение свободного падения. У поверхности земного шара модуль ускорения свободного падения примерно равен g = 9,8 м/с².

Формула для теоретического расчета момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

I₀ = md²/12 (3.3)

Относительная погрешность:

(3.4)

где σ(x) - абсолютная систематическая погрешность, x – результат измерения.

Вид функции , x = a·b·c, расчет абсолютной погрешности Δ(x):

Δ(x)= x·(x) (3.5)

где x – T – средняя величина периода колебаний маятника, (x) – (t) -относительная погрешность продолжительности колебаний в первом случае, x – I – момент инерции, (x) - (I) - относительная погрешность момента инерции во втором случае.

Вид функции A=x^m, формула для расчета относительной погрешности

(3.6)

где А – значение косвенного измерения, (x) – относительная погрешность (l).

Относительная погрешность (x):

(3.7)

Абсолютная погрешность Δ(x), для функции x=a²:

Δ(x)=2|a|Δ(a) (3.8)

где a - l – результат прямого измерения величины А, Δ(a) - погрешность этого результата.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Данные измерений и результаты их обработки приведены в таблице 4.1. Там же представлена рассчитанная средняя величина периода колебаний маятника T (по формуле 3.1). А также l² – квадрат расстояния от центра масс до точки подвеса маятника и экспериментальные расчеты момента инерции прямого тонкого стержня (по формуле 3.2).

Расчёты абсолютной погрешности измерений времени t и относительной погрешности замера времени колебаний T приведены в таблице 4.2. В таблице 4.2. и 4.3. приведены расчеты доверительных интервалов с учетом абсолютной погрешности замера времени колебаний σ(t) = ±2мс и относительной погрешности определения массы δ(m) = 2%.

В работе использовался прибор линейка - не цифровой. Если прибор не цифровой, то σ_сис(l) - абсолютная систематическая погрешность, равна половине цены деления прибора, цена деления равна 10 мм, т.е. в нашем случае σ_сис(l) = 0,005 м.

График экспериментальной зависимости I=f(l²) (рис. 4.1.) построен с учетом доверительных интервалов.

Теоретический расчет момента I₀ инерции прямого тонкого стержня длиной 0,62 м и массой 0,358 кг, по формуле 3.3, равен I₀=0,0115=1,2∙10^-2 кгм². Используя график линеаризованной зависимости I=f(l²) (рис. 4.1.) был определен собственный момент инерции маятника I₀ относительно оси, проходящей через его центр масс, который равен I₀=0,0115=1,2∙10^-2 кгм².

Таблица 4.1.

Данные измерений

Номер опыта	n	t, c	T, c	l2, м2	I, кгм2	Примечание
1	15	54,031	3,602	0,0001	0,0115	m = 358 г = 0,358 кг (t) =  2 мс (m) = 2% d = 0,62 м
2	13	21,718	1,671	0,0025	0,0124
3	14	18,843	1,346	0,0081	0,0145
4	14	17,281	1,234	0,0169	0,0176
5	11	13,281	1,207	0,0289	0,0220
6	12	14,594	1,216	0,0441	0,0276
7	10	12,406	1,241	0,0625	0,0342
8	12	15,281	1,273	0,0841	0,0418

Таблица 4.2.

Расчёт абсолютной погрешности и

относительной погрешности измерения времени t и T

Номер опыта	tизм, c	σ(t), с	tизм±σ(t)	(t), с	T, c	(T), с	Δ(T), с	T±σ(t), с
1	54,031	0,002	54,03 ± 0,002	0,000037	3,602	0,0006	0,000133	3,602 ± 0,00013
2	21,718	0,002	21,72 ± 0,002	0,000092	1,671	0,0012	0,000154	1,671 ± 0,00015
3	18,843	0,002	18,84 ± 0,002	0,000106	1,346	0,0015	0,000143	1,346 ± 0,00014
4	17,281	0,002	17,28 ± 0,002	0,000116	1,234	0,0016	0,000143	1,234 ± 0,00014
5	13,281	0,002	13,28 ± 0,002	0,000151	1,207	0,0017	0,000182	1,207 ± 0,00018
6	14,594	0,002	14,59 ± 0,002	0,000137	1,216	0,0016	0,000167	1,216 ±0,00017
7	12,406	0,002	12,41 ± 0,002	0,000161	1,241	0,0016	0,000200	1,241 ± 0,00020
8	15,281	0,002	15,28± 0,002	0,000131	1,273	0,0016	0,000167	1,273 ± 0,00017

Таблица 4.3.

Расчет абсолютной и относительной погрешности,

доверительных интервалов

Номер опыта	(m)	σ(l), м	l, м	(l), м	(l2), м2	l2±Δ(l2·10-2), м2	(I), кгм2	I ±Δ(I·10-2), кгм2
1	0,020	0,005	0,30	0,017	0,033	0,01±0,30	0,026	0,012±0,03
2	0,020	0,005	0,26	0,019	0,038	0,3±0,3	0,028	0,012±0,03
3	0,020	0,005	0,22	0,023	0,045	0,81±0,22	0,030	0,02±0,04
4	0,020	0,005	0,18	0,028	0,056	1,7±0,2	0,034	0,09±0,1
5	0,020	0,005	0,14	0,036	0,071	2,89±0,14	0,041	0,022±0,1
6	0,020	0,005	0,10	0,050	0,100	4,4±0,1	0,054	0,03±0,2
7	0,020	0,005	0,06	0,083	0,167	6,3±0,1	0,086	0,034±0,29
8	0,020	0,005	0,02	0,250	0,500	8,41±0,02	0,251	0,042±1,1

Подробный расчет погрешностей для первого измерения:

Расчет относительной погрешности измерения t:

(t) = 0,002 / 54,031 = 0,000037, с (3.4)

Расчет относительной погрешности измерения T:

(T) = 0,002 / 3,602 = 0,00055 = 0,0006, с (3.4)

Расчет абсолютной погрешности Δ(T):

Δ(T) = 3,602 · 0,000037 = 0,000133 = 0,00013, с (3.5)

Расчет относительной погрешности измерения l:

(l) = 0,005 / 0,30 = 0,0166 = 0,017, м (3.4)

Расчет относительной погрешности измерения l²:

(l²) = 2 · 0,0166 = 0,033, м² (3.6)

Расчет абсолютной погрешности Δ(l²):

Δ(l²) = 2 · 0,30 · 0,005 = 0,003 = 0,3 · 10^-2, м² (3.8)

Расчет относительной погрешности измерения (I):

(I) = [0,0006² + 0,02² + 0,017²]^1/2 = 0,026, кгм² (3.7)

Расчет абсолютной погрешности измерения Δ(I):

Δ(I ) = 0,0115 · 0,026 = 0,0029 = 0,003 = 0,3 · 10^-2, кгм² (3.5)

Зависимость момента инерции твердого тела от квадрата расстояния от оси вращения до центра масс.

I∙10^-2, кг∙м²

5

4

3

2

I₀ 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l²∙10^-2, м²

Рис. 4.1.

5. ВЫВОДЫ

По результатам работы был построен линеаризованный график I=f(l²) зависимости момента инерции твердого тела от квадрата расстояния от оси вращения до центра масс.

Используя график был определен собственный момент инерции маятника I₀ относительно оси, проходящей через его центр масс, равный I₀=1,2∙10^-2 кгм². В результате сравнения полученных результатов мы видим, что момент инерции определенный из графика линеаризованной зависимости равен теоретическому расчету момента I₀ инерции прямого тонкого стержня.

Изучение момента инерции твердых тел и экспериментальная проверка, на примере физического маятника, доказали справедливость теоремы Штей­нера. Это доказательство стало возможным благодаря исследованию зависимости момента инерции твердого тела от квадрата расстояния от оси вращения до центра масс.

Оказалось, что экспериментальные точки этой линеаризованной зависимости I=f(l²) в пределах погрешности измерений хорошо укладываются на данную прямую.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Как формулируются понятия инерции материальной точки и твердого тела?

Инерция – это свойство, которое присуще всем телам, оно заключается в том, что для изменения скорости любому телу необходимо какое-то время.

2.В каких ситуациях применима теорема Штейнера

Теорема Штейнера применяется для определения моментов инерции тел относительно осей не совпадающих с осью симметрии, но параллельных ей, суть состоит в применении формулы 3.4.

3.Формулировка теоремы Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

4.Под действием какой силы совершаются колебательные движения маятника?

Под действием силы тяжести.

5.Является ли момент инерции аддитивной величиной?

Да. Если тело состоит из нескольких частей, момент инерции которых известен, то момент инерции всего тела равен сумме моментов инерции его частей.

Проверим для инерции

6.Метод определения момента инерции с помощью физического маятника.

Методика определения моментов инерции тел, обладающих осевой или плоской симметрией при расположении центра масс на оси или плоскости симметрии, как правило, сводится к вычислению элемента массы. Момент инерции таких тел определяется по теореме Штейнера. Тело может быть представлено в виде нескольких подобных ему частей, учитывая аддитивность момента инерции и используя формулу теоремы Штейнера (3.4.) в ряде случаев удается сконструировать формулу момента инерции всего тела.

Период колебаний маятника Т=2π(а), отсюда I=

Тогда, зная ускорение свободного падения, массу, измерив расстояние от центра масс до оси вращения, определив Т, можно определить момент инерции маятника.

7.Какой маятник называется физическим?

Физическим маятником называется любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс.

8.При каких формальных допущениях справедлива формула ?

Момент силы трения в первом приближении можно пренебречь, т.к. маятник совершает несколько сот колебаний без заметного затухания.

9.Как записывается основной закон динамики вращательного движения?

При воздействии момента внешних сил твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением, прямо пропорциональным моменту сил и обратно пропорциональным моменту инерции тела относительно данной оси.

, где L- момент импульса, М- момент внешних сил относительно оси z.