Задача 5. Тема «Критерий согласия Пирсона».

По результатам наблюдений определены частоты n_j попадания случайной величины Х в заданные интервалы [a_j; a_j+1), j=1,2,…, k. Рассчитать по данному статистическому ряду оценки параметров и , пользуясь формулами:

,

,

где n – объем выборки;

k – число интервалов группировки;

– середина j-го интервала.

С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину Х нормально распределенной с параметрами и s, рассчитанными по выборке:

[aj; aj+1)	[2,0; 2,3)	[2,3; 2,6)	[2,6; 2,9)	[2,9; 3,2)	[3,2; 3,5)	[3,5; 3,8)
nj	3	5	10	8	4	2

Решение:

Сформулируем основную и альтернативные гипотезы:

Н₀: Х~N() – случайная величина Х подчиняется нормальному закону с параметрами и . Так как истинных значений параметров и , то рассчитаем их по выборке.

Н₁: случайная величина Х не подчиняется нормальному закону с данными параметрами.

Рассчитаем значения и :

=,

Рассчитаем наблюдаемое значение К_набл статистики Пирсона по формуле:

Эмпирические частоты n_j уже известны, а для вычисления вероятностей p_j, в предположении, что гипотеза Н₀ справедлива, применим формулу

и таблицу функции Лапласа. Полученные результаты сведем в таблицу 5.1

.

Сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот Таблица 5.1

№ п/п	Интервалы группировки [aj; aj+1)	Наблюдаемая частота nj	Вероятность pj попадания в j-й интервал	Ожидаемая частота npj	Слагаемые статистики Пирсона
1	[2,0; 2,3)	3	0,0654	2,0928	0,3933
2	[2,3; 2,6)	5	0,1803	5,7696	0,1027
3	[2,6; 2,9)	10	0,2867	9,1744	0,0743
4	[2,9; 3,2)	8	0,2628	8,4096	0,01995
5	[3,2; 3,5)	4	0,1389	4,4448	0,0445
6	[3,5; 3,8)	2	0,0423	1,3536	0,3087
	-	32	0,9764	31,2448	Кнабл=0,9435

Наблюдаемое значение статистики Пирсона равно К_набл=0,9435.

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение К_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [К_кр; +∞). Ее границу К_кр= находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям α=0,05, число интервалов k=6, r=2 (так как параметры и оценены по выборке): .

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: К_набл< К_кр, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу.

Вывод: на уровне значимости 0,05 справедливо предположение о том, что данная случайная величина Х имеет нормальное распределение.

Задача 6. Тема «Ранговая корреляция».

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α=0,05.

Восемь годовых консолидированных балансов проранжированы по двум признакам: Х – объем продаж, Y – цена товара.

Ранг Х	2	5	7	4	6	8	3	1
Ранг Y	3	6	4	8	7	5	2	1

Решение:

По исходной таблице рассчитаем коэффициент корреляции Спирмена. Последовательностям значений х_i и y_i будет соответствовать последовательность рангов (таблица 6.1).

Ранговые последовательности Таблица 6.1

i	1	2	3	4	5	6	7	8
ri	2	5	7	4	6	8	3	1
si	3	6	4	8	7	5	2	1
di	-1	-1	3	-4	-1	3	1	0

В последней строке таблицы указана разность рангов d_i=r_i-s_i, i=1,2,…,8.

Величина S равна:

.

Коэффициент корреляции Спирмена рассчитываем по формуле при n=8:

.

По значению коэффициента корреляции Спирмена можно сказать, что между признаками X и Y есть слабая положительная линейная корреляционная связь.

Проверим значимость коэффициента корреляции.

Основная гипотеза Н₀ состоит в том, что коэффициент корреляции r_s не значим Н₀: r_s=0, то есть между переменными X и Y нет линейной связи. Альтернативная гипотеза Н₁: r_s>0 – коэффициент корреляции значим, переменные X и Y связаны положительной линейной зависимостью.

Наблюдаемое значение статистики К равно:

.

Согласно заданному уровню значимости α=0,05 и n=8 определим границу критической области по таблице распределения Стьюдента. По виду альтернативной гипотезы заключаем, что критическая область является правосторонней: [К_кр; +∞). Находим значение К_кр:

.

Наблюдаемое значение не попадает в критическую область [1,94; +∞), поэтому альтернативную гипотезу отвергаем в пользу основной: коэффициент корреляции r_s не значим и при уровне значимости α=0,05 между переменными X и Y нет линейной связи.