Задание № 5.
Найти неопределенный интеграл.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
Пример решения задачи из задания № 5.
Пример
1:
Используя свойства интеграла, представим данный интеграл как сумму интегралов:
.
Второй из них является табличным:
А в первом интеграле сделаем замену переменных:
Таким образом:
.
Запишем окончательный ответ:
.
Пример
2:
.
Представим данный интеграл как сумму интегралов:
.
Второй из них является табличным:
.
А
в первом интеграле сделаем замену
переменных:
.
Таким образом:
Запишем окончательный ответ:
Задание № 6.
Вычислить определенные интегралы.
1. |
|
6. |
|
2. |
|
7 |
|
3. |
|
8. |
|
4. |
|
9. |
|
5. |
|
10. |
|
Пример решения задачи из задания № 6.
Вычислить
определённый интеграл
.
Сначала вычислим неопределённый интеграл. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
В качестве u(x) возьмем u(x)=x2-5x+6, тогда dv=sin3xdx. Найдем du и v:
du=(2x-5)dv,
и
.
Поэтому
.
Для
вычисления интеграла
вновь используем формулу интегрирования
по частям. Теперь в качестве u
возьмем u=2x-5,
а dv=cos3xdx.
Тогда du=2dx,
.
Получаем:
Подставляем в предыдущее выражение и получаем ответ:
Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем:
.
Задание № 7.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 7.
В некоторых ситуациях обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка легко решаются с помощью приема, который мы будем называть методом разделения переменных. Поясним суть приема на примере. Пусть дано уравнение:
Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную x, а в правой неизвестную функцию y.
Если мы умножим формально обе части равенства на dx, то получим выражения, которые можно трактовать как дифференциалы некоторых функций, зависящих только от x и от y:
Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т.е.
Окончательно получаем
С.
Задание № 8.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 8.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ). Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
,
где
-
общее решение соответствующего
однородного уравнения (ЛОДУ),
- частное решение данного ЛНДУ. В нашем
случае ЛОДУ имеет вид:
Для его решения составим характеристическое уравнение:
Имеем
корни
,
и
,
значит
Далее
находим частное решение исходного
уравнения. Правая часть дифференциального
уравнения является многочленом, поэтому
решение ищем в виде
,
где n
– степень многочлена,
r
– кратность корня k=0
В нашем случае
,
r
= 1, поэтому
.
Найдём производные частного решения
Подставим
в исходное уравнение
Сравнивая коэффициенты при x в правой и левой частях получим:
Откуда
находим
и
.
Тогда
а искомое общее решение примет вид
