10.1 Метод билинейного преобразования

_{Для построения частотных характеристик ЦС можно воспользоваться билинейным преобразованием}

(10.1)

Из данного соотношения

(10.2)

Подставив в (10.2) значение , получим

(10.3)

Таким образом, единичная окружность на Z-плоскости отображается на мнимую ось комплексной W-плоскости. Область внутри единичной окружности на Z-плоскости соответствует левой половине W-плоскости, а положительное направление мнимой оси соответствует диапазону частот 0<ω< ω_s.

Пусть комплексная переменная w имеет вид

(10.4)

Тогда из (10.3) получим

(10.5)

которое устанавливает связь между частотой w и псевдочастотой . При малых значениях ωТ/2 можно считать, что

(10.6)

Поэтому при малых значениях ωТ/2 величину псевдочастоты можно заменит просто частотой, для чего вводится абсолютная псевдочастота λ. Из (10.6) получаем

. (10.7)

Следовательно, и получаем связь между w и абсолютной псевдочастотой λ, учитывая (10.6).

. (10.8)

10.2 Логарифмические частотные характеристики цс

С помощью билинейного преобразования ПФ приводится к такому виду, что построение ЛАЧХ разомкнутой ЦС не встречает затруднений.

Пример 1. ПФ непрерывной части разомкнутой ЦС имеет вид

В системе имеется фиксатор нулевого порядка. Ключ с фиксатором установлен перед непрерывной частью. Построить ЛАЧХ и ФЧХ.

Преобразуем ПФ к виду

Найдем z-преобразование для W₁(p) и W₂(p).

Тогда

(10.9)

Найдем ПФ в w-преобразовании, поставив вместо z (10.1).

где .

Используя (10.8), получим частотную передаточную функцию

(10.10)

Модуль W(jλ) равен

(10.11)

Фазочастотная характеристика

(10.12)

ЛАЧХ и ФЧХ строятся по тем же правилам, что и для непрерывных систем (рисунок 10.1). Амплитудная характеристика члена , входящего в числитель (10.10) и представляющего собой неминимально-фазовое звено, совпадает с форсирующим звеном. При этом ЛАЧХ этого звена представляет амплитуду с нулевым наклоном при малых значениях λ и прямую линию с наклоном +20дБ/дек при больших λ. Эти две линии пересекаются при λ = 2/Т. ФЧХ этого звена совпадает с характеристикой инерционного звена и создает на частоте λ = 2/Т фазовый сдвиг -45⁰.

Рисунок 10.1 – ЛАЧХ и ФЧХ цифровой системы

Если сравнить заданную ПФ непрерывной системы с ПФ цифровой (10.10), то видно, что они совпадают до множителя (1-j(T/2)λ). Таким образом, в области низких частот характеристики цифровой системы совпадают с частотными характеристиками непрерывной части.

Порядок получения ПФ линейной цифровой системы следующий:

а) получить ПФ непрерывной части разомкнутой цифровой системы W(p);

б) переход к псевдочастоте, заменяя ω на λ и умножая полученное выражение на величину (1-j(T/2)λ).

ЛАЧХ и ФЧХ, полученные таким образом, справедливы для частот, меньших 2/Т.